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假设一棵树,其中节点可能存在也可能不存在,我想生成一个公式,其中:
我的目标是使用 allSat
生成给定形状的所有可能的子树。例如,考虑数据类型和示例树
:
data Tree
= Leaf
| Tree [ Tree ]
deriving Show
tree :: Tree
tree
= Tree -- T1
[ Leaf -- L1
, Tree -- T2
[ Leaf -- L2
, Leaf -- L3
]
]
翻译该树应该为每个节点引入 bool 值T1、T2、L1、L2、L3
和一组约束:
L1 => T1
T2 => T1
L2 => T2
L3 => T2
以下代码生成正确的解决方案 (11):
main :: IO ()
main = do
res <- allSat . forSome ["T1", "T2", "L1", "L2", "L3"] $
\ (t1::SBool) t2 l1 l2 l3 ->
( (l1 ==> t1)
&&& (t2 ==> t1)
&&& (l2 ==> t2)
&&& (l3 ==> t2)
)
putStrLn $ show res
那么,给定一些具体的树
,如何生成给allSat
的公式?
另一种解决方案是构造如下操作:
main :: IO ()
main = do
res <- allSat $ makePredicate tree
putStrLn $ show res
makePredicate :: Tree -> Predicate
makePredicate _ = do
t1 <- exists "T1"
l1 <- exists "L1"
constrain $ l1 ==> t1
t2 <- exists "T2"
constrain $ t2 ==> t1
l2 <- exists "L2"
constrain $ l2 ==> t2
l3 <- exists "L3"
constrain $ l3 ==> t2
return true
编辑:我发现了一个 answer to another SO question ,这是相关的。这个想法是构建一个类似于上面替代解决方案的操作,但在树的折叠过程中。这是可能的,因为 Symbolic 是一个 monad。
最佳答案
为了弄清楚递归应该如何工作,重写问题中的替代解决方案以匹配树的形状是有启发性的:
makePredicate :: Tree -> Predicate
makePredicate _ = do
-- SBool for root
t1 <- exists "T1"
-- predicates for children
c1 <- do
-- SBool for child
l1 <- exists "L1"
-- child implies the parent
constrain $ l1 ==> t1
return true
c2 <- do
t2 <- exists "T2"
constrain $ t2 ==> t1
-- predicates for children
c3 <- do
l2 <- exists "L2"
constrain $ l2 ==> t2
return true
c4 <- do
l3 <- exists "L3"
constrain $ l3 ==> t2
return true
return $ c3 &&& c4 &&& true
return $ c1 &&& c2 &&& true
正如我们所看到的,我们首先为节点创建一个 SBool
变量,然后处理它的子节点,最后返回一个合取值。这意味着我们可以首先映射子级以生成其 Predicate,然后以 true 作为初始值折叠 Predicate 列表。
以下代码遍历树并生成一个公式。首先,我们简化Tree类型
{-# LANGUAGE ScopedTypeVariables #-}
import Data.SBV
data Tree
= Node String [ Tree ]
deriving Show
tree :: Tree
tree
= Node "T1"
[ Node "L1" []
, Node "T2"
[ Node "L2" []
, Node "L3" []
]
]
然后我们递归地遍历树并为每个节点生成一个谓词
。根很特殊:因为它没有父项,所以没有什么可暗示的。
main :: IO ()
main = do
res <- allSat $ makeRootPredicate tree
putStrLn $ show res
makeRootPredicate :: Tree -> Predicate
makeRootPredicate (Node i cs) = do
x <- exists i
cps <- mapM (makeNodePredicate x) cs
return $ bAnd cps
makeNodePredicate :: SBool -> Tree -> Predicate
makeNodePredicate parent (Node i cs) = do
x <- exists i
constrain $ x ==> parent
cps <- mapM (makeNodePredicate x) cs
return $ bAnd cps
最后,我使用 bAnd
创建谓词的连词(如评论中所指出的)。
因为bAnd
内部使用了foldr
,所以我们得到一个公式
(c1 &&& (c2 &&& true))
替换c1
和c2
,我们得到
(((l1 ==> t1) &&& true) &&& (((t2 ==> t1) &&& c3 &&& c4 &&& true) &&& true))
替换c3
和c4
,我们得到
(((l1 ==> t1) &&& true) &&& (((t2 ==> t1) &&& ((l2 ==> t2) &&& true) &&& ((l3 ==> t2) &&& true) &&& true) &&& true))
正如评论中所指出的,SBV 将在可能的情况下通过部分评估来内部简化公式。因此,true
将被消除。
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