coq - 同底指数之和

Question

如何在 Coq 中证明以下陈述？

forall x: nat,
x >= 1 -> 2 * 2 ^ (x - 1) = 2 ^ x.

我在模块NZPow中找到了引理pow_add_r，但由于某种原因我无法使用它。

谢谢，马库斯。

Answer 1

我刚刚看到你的答案，但这里解释了为什么你最初的尝试不起作用，以及如何让它运行:

您不能直接使用 Nat.pow_add_r，因为您的目标既不包含形状为 a ^ (b + c) 的项，也不包含 a ^ b * a^c。你必须帮助 Coq 识别这种模式。在以下脚本中，我首先将 2 更改为 2 ^ 1，然后使用您提供的引理。

Require Import Arith.

Lemma foo: forall x: nat, x >= 1 -> 2 * 2 ^ (x - 1) = 2 ^ x.
Proof.
intros x hx.
(* I only want to rewrite one occurrence of 2 *)
pattern 2 at 1; rewrite <- (Nat.pow_1_r 2). 
(* now my goal is 2 ^ 1 * 2 ^ (x-1) = 2 ^ x *)
rewrite <- Nat.pow_add_r.
(* now my goal is 2 ^ (1 + (x - 1)) = 2 ^ x 
   since x >= 1, we can rewrite the first term and conclude *)
now rewrite le_plus_minus_r.
Qed.

PS:如果您不想像我一样为引理添加前缀，则可以Require Import Nat。