statistics - 重尾分布 - 威 bool

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我知道当形状参数 < 1 时，威 bool 分布表现出次指数重尾行为。我需要使用重尾分布的极限定义来证明这一点:

对于所有人

如何结合累积分布函数 (CDF) 或威 bool 分布的任何其他方程特征来证明此限制成立？

Answer 1

CDF of the Weibull distribution是 1 - exp(-(x/lambda)^k) = P(X <= x) .

所以

P(X > x) = 1 - CDF = exp(-(x/lambda)^k),

和

lim exp(lambda * x) * P(X > x) = lim exp(lambda x) * exp( - (x/lambda)^k)
                               = lim exp(lambda x - x^k/lambda^k)

自 k<1 ，并且 x 很大，并且 lambda>0 , lambda x比 x^k/lambda^k 增长得更快(指数较大的单项式获胜)。换句话说，lambda x术语占主导地位 x^k/lambda^k学期。所以lambda x - x^k/lambda^k是大且正的。

因此，极限变为无穷大。