haskell - 如何在 Haskell 上实现数学归纳法

Question

data Nat = Zero | Succ Nat
type Predicate = (Nat -> Bool)

-- forAllNat p = (p n) for every finite defined n :: Nat

implies :: Bool -> Bool -> Bool
implies p q = (not p) || q 

basecase :: Predicate -> Bool
basecase p = p Zero 

jump :: Predicate -> Predicate
jump p n = implies (p n) (p (Succ n)) 

indstep :: Predicate -> Bool
indstep p = forallnat (jump p) 

问题:

证明如果basecase p和indstep p，则forAllNat p

我不明白的是，如果basecase p和indstep p，那么forAllNat p应该是True，当然。

我认为basecase p说P(0)是正确的，并且 indstep p 表示 P(Succ n) 即 P(n+1) 为 true我们需要证明 P(n) 是正确的。我对吗？关于如何执行此操作有什么建议吗？

Answer 1

正如 Benjamin Hodgson 指出的那样，你无法在 Haskell 中完全证明这一点。但是，您可以用稍强的前提条件来证明一个命题。我还将忽略 Bool 不必要的复杂性。

{-# LANGUAGE GADTs, KindSignatures, DataKinds, RankNTypes, ScopedTypeVariables #-}

data Nat = Z | S Nat

data Natty :: Nat -> * where
  Zy :: Natty 'Z
  Sy :: Natty n -> Natty ('S n)

type Base (p :: Nat -> *) = p 'Z
type Step (p :: Nat -> *) = forall (n :: Nat) . p n -> p ('S n)

induction :: forall (p :: Nat -> *) (n :: Nat) .
             Base p -> Step p -> Natty n -> p n
induction b _ Zy = b
induction b s (Sy n) = s (induction b s n)