haskell - 门德勒的组织形态论

Question

使用 recursion-schemes 中的组织同态 (histo)我可以从初始列表中获取仅包含奇数索引的列表:

import Data.Functor.Foldable

odds :: [a] -> [a]
odds = histo $ \case
  Nil                           -> []
  Cons h (_ :< Nil)             -> [h]
  Cons h (_ :< Cons _ (t :< _)) -> h:t

如何使用 mhisto 获得相同的结果？

nil      = Fix Nil
cons a b = Fix $ Cons a b
list = cons 1 $ cons 2 $ cons 3 $ nil

modds :: Fix (ListF a) -> [a]
modds = mhisto alg where
   alg _ _ Nil = []
   alg f g (Cons a b) = ?

Answer 1

就是这样:

modds :: Fix (ListF a) -> [a]
modds = mhisto alg
    where
    alg _ _ Nil = []
    alg odd pre (Cons a b) = a : case pre b of
        Nil -> []
        Cons _ b' -> odd b' 

GHCi> list = cata embed [1..10] :: Fix (ListF Int)
GHCi> odds (cata embed list)
[1,3,5,7,9]
GHCi> modds list
[1,3,5,7,9]

odd 折叠列表的其余部分，而 pre 挖掘前一个。请注意门德勒代数中 y -> f y 函数的可用性如何反射(reflect)了普通组织同态代数中 Cofree 的引入(其中可以通过获取来进行回溯) Cofree 流的尾部):

cata  :: Functor f => (f c -> c) -> Fix f -> c
histo :: Functor f => (f (Cofree f c) -> c) -> Fix f -> c

mcata  :: (forall y. (y -> c) -> f y -> c) -> Fix f -> c
mhisto :: (forall y. (y -> c) -> (y -> f y) -> f y -> c) -> Fix f -> c 

有关 mcata 和 mhisto 的进一步阅读，请参阅 Categorical programming with inductive and coinductive types, by Varmo Vene 的第 5 章和第 6 章.