octave - 使用 eig() 得到 Octave 的特征值

Question

考虑实对称矩阵

S = (2, 1; 1, 2)

从特征方程 |S - λ I| 中，我们得到二次 (2-λ)^2 - 1 = 0，其解产生特征值 3 和 1。相应的特征向量为 (1;-1) 和(1;1)。

octave:4> [V,lambda] = eig([2, 1; 1,2])
V =

  -0.70711   0.70711
   0.70711   0.70711

lambda =

Diagonal Matrix

   1   0
   0   3

为什么特征向量是 Octave 的[-0.70711; 0.70711]和[0.70711； 0.70711]？

Answer 1

给定 λ₁ = 3，相应的特征向量为:

| 2 1 |   |x|     |x|
|     | * | | = 3 | |   =>   x = y
| 1 2 |   |y|     |y|

即对于任何非零实数 x，任何 [x, x]' 形式的向量都是特征向量。因此，[0.70711, 0.70711]' 是与 [1, 1]' 一样有效的特征向量。

Octave(还有 Matlab)选择的值使得每个特征向量元素的平方和等于 1(特征向量被归一化为范数为 1，并且被选择为正交，准确地说)。

当然，对于 λ₂ = 1 也是如此。