matlab - 为什么这个公式是用这个Matlab代码写的？

Question

在this的第4节中论文中，提出了以下公式来将大小为 p 的核矩阵 K 归零:

这是我与上述公式相对应的代码:

K = K - (1/p)*(K*ones(p,1))*ones(1,p) - (1/p)*ones(p,1)*(ones(1,p)*K) + (1/p^2)*sum(sum(K));

我对代码与论文中实际公式的关系感到困惑。特别是最后两个成员 - (1/p)*ones(p,1)*(ones(1,p)*K) 和 (1/p^2)*总和(总和(K))。

有人可以解释一下吗？

Answer 1

嗯，代码并不完全正确。第三项包含一个K，该值在论文中给出的公式中不存在。此外，最后一项不会与 e e^T 相乘。但是，在这种情况下可以省略后者，因为 MATLAB 会自动将标量添加到矩阵中的所有元素。第三项也是如此，因此也可以省略。
这是经过上述简化的该行的正确版本:

K = K - (1/p)*(K*ones(p,1))*ones(1,p) - 1/p + (1/p^2)*sum(sum(K))

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我们可以通过仅调用一次 ones 来进一步简化，因为 ones(p,1)*ones(1,p) 给出的结果与 个(p)。此外，sum(sum(K)) 可以替换为 sum(K(:))。
它看起来像这样:

K = K - (1/p)*K*ones(p) - 1/p + (1/p^2)*sum(K(:))

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现在我们可以将其与公式的一对一实现进行比较。因此，我们将使用e = Ones(p,1)来表示e。要获得 e^T，只需将 e 与 .' 转置即可。所以公式可以写成:

K = K - (1/p)*K*e*e.' - (1/p)*e*e.' + ((e.'*K*e)/p^2)*e*e.'

请注意，e.'*K*e 只是计算 K 中所有元素的总和，等于 sum(K(:)) 。这是有效的，因为 e = Ones(p,1)。

让我们生成一些示例数据并比较结果:

rng(8);             % make it reproducible
p = 3;              % size of matrix
K = randi(10,p);    % generate random matrix
e = ones(p,1);      % generate e-vector

K1 = K - (1/p)*(K*ones(p,1))*ones(1,p) - 1/p + (1/p^2)*sum(sum(K))
K2 = K - (1/p)*K*ones(p) - 1/p + (1/p^2)*sum(K(:))
K3 = K - (1/p)*K*e*e.' - (1/p)*e*e.' + ((e.'*K*e)/p^2)*e*e.'
K4 = K - (1/p)*K*e*e.' - (1/p)*e*e.' + sum(K(:))/p^2

结果如下:

K1 =
    8.0000    5.0000    4.0000
    9.6667    2.6667    4.6667
    9.3333    1.3333    6.3333
K2 =
    8.0000    5.0000    4.0000
    9.6667    2.6667    4.6667
    9.3333    1.3333    6.3333
K3 =
    8.0000    5.0000    4.0000
    9.6667    2.6667    4.6667
    9.3333    1.3333    6.3333
K4 =
    8.0000    5.0000    4.0000
    9.6667    2.6667    4.6667
    9.3333    1.3333    6.3333