math - 使用起点/终点/中心点和轴计算弧长

Question

我需要用一些数据计算弧长:

• 起始点坐标(Xs、Ys、Zs)
• 结束点及坐标(Xe、Ye、Ze)
• 中心点及坐标(Xc、Yc、Zc)
• Axis 向量，包含分量(Xa、Ya、Za)

Arc 从 Start 点开始，在 End 点结束，半径等于 DistanceBetween(Center, Start) 和 DistanceBetween(Center, End) 以及他的方向由 Axis 向量定义。

示例:

Arc {  Start   { -18.123, -11.805, 0 },  End     { -17.167,  -0.553, 0 },  Center  {  -9.421,  -6,877, 0 },  Axis    { 0, 0, -1 }}

注意:在本例中，圆弧具有顺时针方向

我的问题是:我可以计算大长度或小长度，但无法根据轴的方向确定合适的值。

欢迎提供一些帮助。

Answer 1

假设您的数据都是自洽的(中心必须与起点和终点等距，并且轴应垂直于包含起点、终点和中心的平面)，则弧长是以弧度为单位的度量角度 Start -> Center -> End 乘以半径(从 Center 到 Start 的距离，或等效地，从 Center 到 End 的距离)。角度的测量可以通过余弦定律找到:C^2 = A^2 + B^2 - 2AB cos theta哪里C是从起点到终点的距离，A是从中心到起点的距离，B是从中心到末端的距离。在这种情况下，公式可以简化为 C^2 = 2R^2 - 2R^2 cos theta可以解决 cos theta然后取反余弦得到theta .

如果我理解正确的话，你已经走到这一步了，但问题是 cos 的倒数通常有两个值。 ，对应起点和终点之间的短弧和长弧，你不知道该选哪个。

反余弦的主分支，这是使用库函数 arccos 得到的结果，将始终给出短角。您将需要另一种方法来确定正确的角度是短还是长。

我推荐的方法是使用cross product 。利息公式为

a x b = |a| |b| sin(\theta) n

哪里a是矢量开始 - 中心，b是向量End - Center , |a|=|b|=R ，和n是由轴确定的单位向量。您已经或多或少地根据余弦定律获得了角度 theta，因此您不需要计算 arcsin ;此时您真正感兴趣的是 sin(theta) 的符号。如果a x b和n方向相同，sin(theta)>0然后你取由余弦定律确定的短弧。如果a x b和n方向相反，sin(theta)<0 ，然后取由余弦定律确定的长弧。

您可以判断是否 a x b和n通过取它们的点积，它们的方向相同或相反。如果点积为正，则它们的方向相同。如果点积为负，则它们的方向相反。