max - 如何在 Sympy 中找到函数的最大值？

Question

这几天我正在尝试使用Sympy重做单自由度系统的冲击谱。这个问题可以减少寻找函数最大值的问题。以下是两种情况，我不知道该怎么做。

第一个是

tau,t,t_r,omega,p0=symbols('tau,t,t_r,omega,p0',positive=True)
h=expand(sin(omega*(t-tau)))
f=simplify(integrate(p0*tau/t_r*h,(tau,0,t_r))+integrate(p0*h,(tau,t_r,t)))

最终目标是获得f的最大绝对值(变量为t)。直接的方法是

df=diff(f,t)
sln=solve(simplify(df),t)
simplify(f.subs(t,sln[1]))

这是结果，我尝试了很多方法，但无法进一步简化。

因此，我尝试了另一种方法。因为我需要最大绝对值，并且 abs(f) 最大值的位置与 f 的平方相同的位置，所以我们可以计算 f 的平方 首先。

df=expand_trig(diff(expand(f)**2,t))
sln=solve(df,t)
simplify(f.subs(t,sln[2]))

看来答案几乎是一样的，只是形式不同而已。

预期的答案是一个 sinc 函数加上一个常量，如下所示:

因此，问题是如何获得最终的演示文稿。

第二个可能有点难。问题可以简化为找到f=sin(pi*t/t_r)-T/2/t_r*sin(2*pi/T*t)的最大值，其中t_r 和 T 是两个参数。当t_r和T的比值变化时，最大值位于不同的峰值处。我在 Sympy 中没有找到解决它的方法。有什么建议吗？答案可以用下图来表示。

Answer 1

问题出在 log(exp(I*omega*t_r/2)) 项上。 SymPy 并未将其简化为 I*omega*t_r/2。 SymPy 并没有简化这一点，因为一般来说，log(exp(x)) != x，而是 log(exp(x)) = x + 2*pi*I*n 对于某个整数n。但在这种情况下，如果将 log(exp(I*omega*t_r/2)) 替换为 omega*t_r/2 或 omega*t_r/2 + 2*pi*I*n，它是相同的，因为它只是在 sin 内添加一个 2*pi*I*n。

我无法找出任何强制这种简化的函数，但最简单的方法就是进行替换:

In [18]: print(simplify(f.subs(t,sln[1]).subs(log(exp(I*omega*t_r/2)), I*omega*t_r/2)))
p0*(omega*t_r - 2*sin(omega*t_r/2))/(omega**2*t_r)

这看起来像是您正在寻找的答案，除了绝对值(我不确定它们应该来自哪里)。