coq - 使用 uniq 从 finType 上的 seq 派生出 ssreflect finType

Question

我有一个结构，由有限类型上的序列和该序列的 uniq 证明组成。这应该描述一个显然是有限的类型，但我不知道如何证明这一点。

我以为我可以使用 UniqFinMixin，但是它需要 - 如果我理解正确的话 - 提供该类型的所有元素的显式 seq，我不知道如何计算。我尝试在有限类型上使用 Finite.enum，但它只生成包含有限类型所有元素的 seq，并且我没有找到计算所有子序列/排列的优雅方法。

From mathcomp
Require Import ssreflect ssrbool ssrfun eqtype ssrnat seq choice fintype.
From mathcomp
Require Import tuple finfun bigop finset.

Variable ft : finType.

Structure dbranch := {branch :> seq ft ; buniq : uniq branch}.

Canonical dbranch_subType := Eval hnf in [subType for branch].
Canonical dbranch_eqType := Eval hnf in EqType _ [eqMixin of dbranch by <:].
Canonical dbranch_choiceType := Eval hnf in ChoiceType _ [choiceMixin of dbranch by <:].
Canonical dbranch_countType := Eval hnf in CountType _ [countMixin of dbranch by <:].
Canonical dbranch_subCountType := Eval hnf in [subCountType of dbranch].


Lemma dbranchFin : Finite.mixin_of [eqType of dbranch].
Admitted. (* :-( *)

Canonical dbranch_finType := Eval hnf in FinType _ dbranchFin.

我觉得很奇怪，这里没有一种简单的方法来派生 finType，但我在 finset.v 文件中找不到它。预先感谢您的帮助。

Answer 1

您可以显示 dbranch 嵌入到另一个 finType 中——例如，大小受限的 ft 元素列表的类型通过#|ft|。

Lemma size_dbranch d : size (branch d) < #|ft|.+1.
Proof.
rewrite ltnS [card]unlock uniq_leq_size ?buniq // => ?.
by rewrite mem_enum.
Qed.

Definition tag_of_dbranch d : {k : 'I_#|ft|.+1 & k.-tuple ft} :=
  @Tagged _ (Sub (size (branch d)) (size_dbranch d))
            (fun k : 'I_#|ft|.+1 => k.-tuple ft)
            (in_tuple (branch d)).

Definition dbranch_of_tag (t : {k : 'I_#|ft|.+1 & k.-tuple ft}) : option dbranch :=
  insub (val (tagged t)).

Lemma tag_of_dbranchK : pcancel tag_of_dbranch dbranch_of_tag.
Proof. by rewrite /tag_of_dbranch /dbranch_of_tag=> x; rewrite valK. Qed.

Definition dbranch_finMixin := PcanFinMixin tag_of_dbranchK.
Canonical dbranch_finType := Eval hnf in FinType dbranch dbranch_finMixin.