numbers - 无符号数的上溢/下溢

Question

因此，如果无符号数的加法进位为 1，则发生溢出；如果减法的进位为 0，则发生下溢。但这在所有情况下都有效吗？

如果你的比分是5-0:0101-0000

=0101+(1111 + 1)

=0101+0000

= 0101...这里进位为零，而不是 1。如何解释这种情况？有其他方法吗？

(使用 MIPS 架构或其他架构)

---编辑

谢谢阿马丹。不过我理解那部分。我的问题是零似乎是一个特例。它似乎不遵循正常数字的做法:在上面的示例中，没有进位 1。

我目前正在使用 ALU 进行电路设计，并尝试实现溢出检测，当出现这种情况时，它与其他情况不同。

我们假设通过减法，第二个操作数在进入 ALU 之前被预先反转(二进制补码)(然后添加到第一个操作数)。因此，每当减法的“invert_b”设置为 1 时，b 就会反转，我们假设我们正在检查的情况是减法，其进位应该为 1。

Answer 1

我相信 msbit 进位位本身涵盖了无符号和有符号的情况，您可以查看 msbit 的进位和进位是否不同。

5-0 不会溢出，因为结果适合可用位数。与 15-1 对于有符号数不会溢出 4 位系统的方式相同

5 - 0 = 0101 + 1111 + 1

    1
 0101
+1111
=====

11111
 0101
+1111
=====
 0101

所以 5 - 0 肯定会执行 1，因为这是一个减法，而不是溢出

15 - 1 = 1111 + ~1(进位在集合中)

    1
 1111
 1110
 ====

11111
 1111
 1110
 ====
 1110

输出为 1 的减法不是您所说的无符号溢出

同样，-1 - 1 = 1111 + ~1，进位位设置

11111
 1111
 1110
 ====
 1110

最后一位进位是 1，进位是 1，它们匹配，无符号溢出。

8 + 8 = 1000 + 1000(进位清零)

    0
 1000
+1000
=====

10000
 1000
+1000
=====
 0000

无符号溢出。

嗯4 + 4

    0
 0100
+0100
=====

01000
 0100
+0100
=====
 1000

无符号加法进位为 0，这不是无符号溢出。但这是有符号溢出，因为 msbit 的进位和进位不同。 +4++4 = +8，在 4 位有符号系统中，您无法表示 +8，因此有符号溢出是准确的。

无论有多少位，这些奇怪的数字都是零和一个一，其余的都是零，0和8，或者对于4位系统来说是-8。

用 2、3 或 4 位数字的所有组合制作一个图表，并手动查看所有这些数字以查看它们是否有意义。无论你发现什么，无论有多少位宽，都会缩放，100 位加法器的工作方式就像 10 位加法器......

add           C V  unsigned    signed
00 + 00 = 000 0 0  0 + 0 = 0   0 +  0 =  0
00 + 01 = 001 0 0  0 + 1 = 1   0 +  1 =  1
00 + 10 = 010 0 0  0 + 2 = 2   0 + -2 = -2
00 + 11 = 011 0 0  0 + 3 = 3   0 + -1 = -1
01 + 00 = 001 0 0  1 + 0 = 1   1 +  0 =  1
01 + 01 = 010 0 1  1 + 1 = 2   1 +  1 =  2  signed cannot represent a +2
01 + 10 = 011 0 0  1 + 2 = 3   1 + -2 = -1
01 + 11 = 100 1 0  1 + 3 = 4   1 + -1 =  0  unsigned cannot represent +4
10 + 00 = 010 0 0  2 + 0 = 2  -2 +  0 = -2 
10 + 01 = 011 0 0  2 + 1 = 3  -2 +  1 = -1
10 + 10 = 100 1 1  2 + 2 = 4  -2 + -2 = -4 neither +4 nor -4 will fit in 2 bits
10 + 11 = 101 1 1  2 + 3 = 5  -2 + -1 = -3 neither +4 nor -3 will fit in 2 bits
11 + 00 = 011 0 0  3 + 0 = 3  -1 +  0 = -1 
11 + 01 = 100 1 0  3 + 1 = 4  -1 +  1 = -2 +4 does not fit in 2 bits
11 + 10 = 101 1 1  3 + 2 = 5  -1 + -2 = -3 neither +5 nor -3 fit in 2 bits
11 + 11 = 110 1 0  3 + 3 = 6  -1 + -1 = -2 6 does not fit in 2 bits
sub
00 - 00 = 100 0 0
00 - 01 = 011 1 0  0 - 1 = -1   -1 does not fit in an unsigned result
00 - 10 = 010 1 1  0 - 2 = -2  0 - -2 = +2  
00 - 11 = 001 1 0  0 - 3 = -3
01 - 00 = 101 0 0
01 - 01 = 100 0 0
01 - 10 = 011 1 1  1 - 2 = -1  1 - -2 =  3
01 - 11 = 010 1 1  1 - 3 = -2  1 - -1 =  2
10 - 00 = 110 0 0  
10 - 01 = 101 0 1             -2 -  1 = -3
10 - 10 = 100 0 0
10 - 11 = 011 1 0  2 - 3 = -1
11 - 00 = 111 0 0
11 - 01 = 110 0 0
11 - 10 = 101 0 0
11 - 11 = 100 0 0

生成上述内容的代码

printf("add\n");
for(ra=0;ra<4;ra++)
{
    for(rb=0;rb<4;rb++)
    {
        rd=(ra&1)+(rb&1);
        rc=ra+rb;
        rd=(rd>>1)&1;
        re=(rc>>2)&1;
        if(re) c=1; else c=0;
        if(rd!=re) v=1; else v=0;

        if(ra&2) printf("1"); else printf("0");
        if(ra&1) printf("1"); else printf("0");
        printf(" + ");
        if(rb&2) printf("1"); else printf("0");
        if(rb&1) printf("1"); else printf("0");
        printf(" = ");
        if(rc&4) printf("1"); else printf("0");
        if(rc&2) printf("1"); else printf("0");
        if(rc&1) printf("1"); else printf("0");
        printf(" %u %u\n",c,v);
    }
}
printf("sub\n");
for(ra=0;ra<4;ra++)
{
    for(rb=0;rb<4;rb++)
    {
        rd=(ra&1)+((~rb)&1)+1;
        rc=ra+((~rb)&3)+1;
        rd=(rd>>1)&1;
        re=(rc>>2)&1;
        if(re) c=0; else c=1;
        if(rd!=re) v=1; else v=0;

        if(ra&2) printf("1"); else printf("0");
        if(ra&1) printf("1"); else printf("0");
        printf(" - ");
        if(rb&2) printf("1"); else printf("0");
        if(rb&1) printf("1"); else printf("0");
        printf(" = ");
        if(rc&4) printf("1"); else printf("0");
        if(rc&2) printf("1"); else printf("0");
        if(rc&1) printf("1"); else printf("0");
        printf(" %u %u\n",c,v);
    }
}

现在你的问题是关于无符号数字，是吗？所以你可能不关心V位也不关心右半部分，即签名的一半。

这是我实现的小型 16 位处理器的一些 HDL/RTL:

case 4b0000:
{
    //0000 add rd,rs
    op_a = bundle(1b0,reg[bundle(2b0,inst[4;8])].value);
    op_b = bundle(1b0,reg[bundle(2b0,inst[4;4])].value);
    op_res = op_a + op_b;
    reg[1].value[CBIT] <= op_res[16];
    reg[1].value[NBIT] <= op_res[15];

    if(op_res[16;0] == 16h0000)
    {
        reg[1].value[ZBIT] <= 1b1;
    }
    else
    {
        reg[1].value[ZBIT] <= 1b0;
    }
    if((op_a[15] == op_b[15]) && (op_res[15] != op_b[15] ) )
    {
        reg[1].value[VBIT] <= 1b1;
    }
    else
    {
            reg[1].value[VBIT] <= 1b0;
    }
    reg[bundle(2b0,inst[4;8])].value <= op_res[16;0];
}
case 4b0001:
{
    //0001 sub rd,rs
    op_a = bundle(1b0,reg[bundle(2b0,inst[4;8])].value);
    op_b = bundle(1b0,reg[bundle(2b0,inst[4;4])].value);
    op_res = op_a - op_b;
    reg[1].value[CBIT] <= (~op_res[16]);
    reg[1].value[NBIT] <= op_res[15];

    if(op_res[16;0] == 16h0000)
    {
        reg[1].value[ZBIT] <= 1b1;
    }
    else
    {
        reg[1].value[ZBIT] <= 1b0;
    }
    if((op_a[15] != op_b[15]) && (op_res[15] == op_b[15] ) )
    {
        reg[1].value[VBIT] <= 1b1;
    }
    else
    {
        reg[1].value[VBIT] <= 1b0;
    }
    reg[bundle(2b0,inst[4;8])].value <= op_res[16;0];
}

我已经/已经在其他逻辑中看到了有符号溢出的 msbit 问题，并且在头对头分析中尝试每种可能的组合时，找不到与进位与执行方法不匹配的情况。

如果我的答案太过分了，我不介意在开头将其剪掉，它显示 5 - 0 有一个 1 作为 1 的进位，这对于减法来说不是溢出。答案很长，因为很难理解有符号与无符号以及加法器在逻辑上的一般工作原理。加法器不知道或不关心有符号或无符号，它确实关心加法与减法，通过减法可以反转第二个操作数，反转进位到 lsbit 以及进位出 msbit(考虑加法，带进位的加法) 、 sub 和带有进位的 sub )。有符号与无符号的关系取决于它本身(二进制补码的美妙之处)。将上述内容简化为仅无符号的讨论，使其简单一半以上，因为有符号溢出对于不经意的观察者来说并不明显(如无符号溢出)。

我当然希望我剪切并粘贴了调试过的 HDL，如果我没有的话，将会得到很多响应/更正...我花了几天时间说服自己相信上述所有内容，并与我拥有的其他处理器的结果进行比较希望这可以为您节省几天的时间。