c++ - 讨论-创建矩阵时 vector 的数组与 vector -最实用的选择是什么？

Question

因此，我偶然发现了一本名为“C++科学计算指南”的C++书的练习。
这是练习:
“编写代码，为三个2×2矩阵的 double 浮点数A，B，C动态分配内存，并为A和B的条目分配值。令C = A +B。扩展代码，使其计算C的条目，然后将C的条目打印到屏幕上。最后，释​​放内存。再次，如上一练习中所述，使用for循环检查您是否正确地释放了内存。”
这引起了我的注意，我尝试使用两个2D阵列(我能够非常轻松地做到这一点)来解决此问题，并且
与 vector 的 vector (我失败了)。
我做了很多研究，并在StackOverFlow上读了一些文章，基本上这种看法是普遍的-处理矩阵时，选项始终是2D数组。
但是知道这里有很多程序员(而且我是C++的新手)，所以我真的想阅读有关该主题的更多意见!
附言:这是我尝试使用vector vector 创建矩阵的尝试失败的一些片段:

for (int row{ 0 }; row < 2; row++) { // Create Matrix A - goes through the matrix rows
    
    for (int col{ 0 }; col < 2; col++) { // goes through the matrix columns
        temp.push_back(rand() % 201); // add random number to the temporary vector
    }

    matrixA.push_back(temp);
}

// Outputing 
for (int row{ 0 }; row < matrixA.size(); row++) { // goes through the matrix rows

    for (int col{ 0 }; col < matrixA.at(row).size(); col++) { // goes through the vectors inside matrixA
        cout << matrixA.at(row).at(col) << "\t";
    }
    cout << endl;
}

这是输出:
enter image description here

Answer 1

问题的根源在于C++没有为多维提供内置的支持
数组，以及
矩阵不是数组的数组
因此，即使在C / C++中可以拥有一个数组的数组，例如在double M[3][3]中，这不是表示矩阵的好方法。即使在编译时间固定的情况下这仍然可以，但vector< vector<double> >方式绝对不是很好。
为什么:

下标语法M[i][j]仍然反射(reflect)出以下事实:这是一个数组数组，而不是真正的多维数组(M[i,j]在C / C++中是合法的，但含义完全不同)。 M[i][j]语法也确实与数学用法不匹配。通常访问矩阵数学家的i，j元素
写
艾
并不是
(Ai)j
(这对应于M[i][j])

在数学和科学计算方面的经验表明，大多数情况下，这两个维度通常都同等重要。确实没有外部和内部维度。 slice 通常按行和按列进行。更复杂的下标模式(例如子矩阵或跨步)也很常见。

通常，人们需要进行展平操作，即重新组织线性 vector 中的矩阵元素。

0 x N或M x 0矩阵无法实现。这适用于静态情况double A[N][M]，也适用于无法表示vector< vector<double> >的0 x N。正确处理空矩阵非常重要。矩阵下标可能会生成一个空矩阵作为合法情况。另一方面，矩阵乘法总是需要匹配的内部尺寸。因此，0xN * NxM是有效的情况，不应触发任何错误。

vector< vector<double> >浪费内存。而且它比所需的速度慢(考虑一个N大的Nx2矩阵。这会产生很多开销)。同样适用于纯C中的double **M。

vector< vector<double> >与外部线性代数库(例如LAPACK或其他)不兼容

vector< vector<double> >可以是非矩形的，即，需要确保所有内部 vector 具有相同的长度。

矩阵是其自身的实体
这就是线性代数软件包中经常执行的方法。有区别，但本质上都非常相似。

将多维数组视为自己的实体是最合理的。尽管乍一看似乎不是一个好主意，但它不是一个数组或一个数组。

数据存储始终是线性的

矩阵元素的访问映射到此线性存储中。其实这很简单。要访问i, j元素，请使用A[i*lda + j]和lda领先尺寸的长度。这并不意味着该元素在内存中有一定顺序。这种情况通常称为C指令。相反的FORTRAN顺序仅交换i和j的含义，或者在维数较高的情况下，反转索引的顺序。

实际上，nd数组由

struct ndarray {
  double *buffer;
  size_t  size[DIMS];
  size_t strides[DIMS]
};

这可以实现拥有(即对缓冲区拥有所有权)或非拥有矩阵。后者对于实现零开销子矩阵或列/行下标可能很重要。
然后访问矩阵(DIM == 2)的i,j元素

buffer[ i*strides[0] + j*strides[1] ]

这很容易推广到更高的尺寸。
同样，转置矩阵仅需要反转strides数组。无需复制。
行或列下标，子矩阵或获得跨步子矩阵可实现为零开销操作。只需适当地填写strides数组，并相应地设置buffer和size。strides必须在创建矩阵时正确初始化，这取决于要使用C还是FORTRAN布局。