graphics - 4x4矩阵最后一个元素的意义？

Question

我希望在传输的 4x4 矩阵上搭载一个浮点值。所讨论的矩阵用于各种 xyz 向量变换。据我了解，矩阵的前 3x3 有助于旋转和缩放变换，前 3 行的第 4 个值偏移变换的枢轴，底行的前 3 个元素执行位置偏移，但最后一行的作用是什么元呢？据我所知，它始终为 1 并且完全没有任何作用，充分利用它对我有什么坏处吗？

Answer 1

如果(正如您的问题所示)约定是点是列向量，并且前 3 行的最后一个元素决定平移，那么底行的前 3 个元素不是位置偏移:变换矩阵的第 4 行用于透视投影，这是相机将 3D 点映射到 2D 视口(viewport)的方式。 4x4 矩阵如何用于映射点的草图:

result   =       4x4 matrix      *  point

[ x' ]       [ Rxx Rxy Rxz Tx ]     [ x ]
[    ]       [                ]     [   ]     ->    R** is the rotation/scaling matrix
[ y' ]       [ Ryx Ryy Ryz Ty ]     [ y ]
[    ]   =   [                ]  *  [   ]           T* is the translation vector
[ z' ]       [ Rzx Rzy Rzz Tz ]     [ z ]
[    ]       [                ]     [   ]           P* fixes the camera projection plane
[ w' ]       [ Px  Py  Pz  Pw ]     [ w ]

-> x' = dot_product3([Rxx,Rxy,Rxz], [x,y,z])  + Tx * w
-> y' = dot_product3([Ryx,Ryy,Ryz], [x,y,z])  + Ty * w
-> z' = dot_product3([Rzx,Rzy,Rzz], [x,y,z])  + Tz * w
-> w' = dot_product4([Px,Py,Pz,Pw], [x,y,z,w])

3D 点 -> 2D 屏幕映射的最后一步是除以第四个 (w') 坐标 - 因此，对于标准几何变换，最后一行通常应为 [0,0,0,1]，使 w 坐标保持不变。

如果底行的前 3 个元素不是 0，则矩阵通常会生成奇怪的、不均匀的 3D 空间扭曲。而且，虽然可以使用最后一个元素作为统一的逆缩放因子，但最好使用左上角的 3x3 子矩阵进行缩放，并将底行专门留给相机。