haskell - 通过库里-霍华德通信了解 haskell 的德摩根定律

Question

我在 Haskell 中实现了四个德摩根定律中的三个:

notAandNotB :: (a -> c, b -> c) -> Either a b -> c
notAandNotB (f, g) (Left x)  = f x
notAandNotB (f, g) (Right y) = g y

notAorB :: (Either a b -> c) -> (a -> c, b -> c)
notAorB f = (f . Left, f . Right)

notAorNotB :: Either (a -> c) (b -> c) -> (a, b) -> c
notAorNotB (Left f)  (x, y) = f x
notAorNotB (Right g) (x, y) = g y

但是，我认为不可能实现最后一项法律(有两名居民):

notAandBLeft  :: ((a, b) -> c) -> Either (a -> c) (b -> c)
notAandBLeft  f = Left  (\a -> f (a, ?))

notAandBRight :: ((a, b) -> c) -> Either (a -> c) (b -> c)
notAandBRight f = Right (\b -> f (?, b))

在我看来，有两种可能的解决方案:

1. 使用未定义代替？。这不是一个好的解决方案，因为它是作弊行为。

2. 使用单态类型或有界多态类型来编码默认值。

   notAandBLeft  :: Monoid b => ((a, b) -> c) -> Either (a -> c) (b -> c)
   notAandBLeft  f = Left  (\a -> f (a, mempty))
   
   notAandBRight :: Monoid a => ((a, b) -> c) -> Either (a -> c) (b -> c)
   notAandBRight f = Right (\b -> f (mempty, b))
   

   这不是一个好的解决方案，因为它的法律比德摩根定律弱。

我们知道德摩根定律是正确的，但我假设最后一条定律不能用 Haskell 编码是否正确？这对库里-霍华德同构有何说明？如果每个证明都不能转换成等价的计算机程序，那么它就不是真正的同构，对吧？

Answer 1

第四定律是not intuitionistic 。您需要排除中间公理:

lem :: Either a (a -> c)

或 PIL 斯定律:

pierce :: ((a -> c) -> c) -> a

证明这一点。