c++ - 使用FFTW将(2d)IDFT转换为DFT时，为什么频域数据为 “mirrored”？

Question

我正在通过在16x16数据集中设置某些模式的实际分量来手动初始化2d频域中的状态。然后，我执行2D IDFT来获取真实域数据。这一切都按预期工作。
然后，我对实域数据执行DFT，以获取(应该是)与我手动初始化的频率模式相同的频率模式。但是，它们以振幅减半返回，并且垂直频率“镜像”。为了显示:
输入方式:
k [1，0]:32 + 0ik [2，0]:16 + 0ik [3，0]: 8 + 0ik [4，0]: 4 + 0iIDFT-> DFT之后的输出模式:
k [1，0]:16 + 0ik [2，0]: 8 + 0ik [3，0]: 4 + 0ik [4，0]: 2 + 0ik [12，0]: 2 + 0ik [13，0]: 4 + 0ik [14，0]: 8 + 0ik [15，0]:16 + 0i我的问题是，为什么DFT输出中的模式与IDFT的初始输入不同？
在某些情况下，我遇到的问题是我正在使用这些数据来“求解”热方程，并且高频信号会迅速缩小。因此，经过数个时间步长后，k [12，0]至k [15，0]模式实际上并不起作用。
重现问题的代码:

int N = 16;                         // Dimensions of the data
int logical_width = (N / 2) + 1;    // Logical width of the frequency domain

double* real = new double[N * N];
fftw_complex* complex = (fftw_complex*)fftw_malloc(sizeof(fftw_complex) * N * logical_width);

fftw_plan plan = fftw_plan_dft_r2c_2d(N, N, real, complex, FFTW_ESTIMATE);
fftw_plan iplan = fftw_plan_dft_c2r_2d(N, N, complex, real, FFTW_ESTIMATE);

// Initialize all real data to 0
for (int i = 0; i < N * N; i++) {
    real[i] = 0.0;
}

// Initialize all complex data to 0
for (int i = 0; i < N * logical_width; i++) {
    complex[i][REAL] = 0.0;
    complex[i][IMAG] = 0.0;
}

// Set first 4 vertical modes
complex[1 * logical_width][REAL] = 32;
complex[2 * logical_width][REAL] = 16;
complex[3 * logical_width][REAL] = 8;
complex[4 * logical_width][REAL] = 4;

// Print before IDFT -> DFT
printComplex(complex, N);

// IDFT
fftw_execute(iplan);

// DFT back
fftw_execute(plan);

// Print after IDFT -> DFT
printComplex(complex, N, true); // Pass true to divide amplitudes by N*N

// Clean up
fftw_destroy_plan(plan);
fftw_destroy_plan(iplan);
delete[] real;
fftw_free(complex);

在上面的问题中可以看到两个 printComplex(...)调用的输出。

Answer 1

您需要阅读离散傅立叶变换。
对于实值时域信号，DFT具有共轭对称性:
F(k)= conj(F(N-k))，
N个样本数。通过对非对称频域信号进行逆变换，可以得到复数值的时域信号，但是由于使用的是复数到实数的转换，因此实际上只计算了该结果的实数部分。您在这里丢掉了一半的数据。然后，前向变换返回该变换后信号的DFT。因为您的时域信号现在是实值，所以您的频域结果具有共轭对称性。