math - 谷本系数距离测度

Question

两个物体能否具有相同的余弦和谷本系数距离测度，其中

Tanimoto distance measure, d(x,y) = x.y / (|x|*|x|) + (|y|*|y|)- x*y

和

cosine measure, d(x,y) = x.y /(|x|* |x|) * (|y| *|y|)

Answer 1

The Tanimoto similarity coefficient (这不是真正的距离测量)被定义通过

d(x,y) = x.y / ((|x|*|x|) + (|y|*|y|)- x.y)

对于位向量x和y。

现在将其与 cosine similarity coefficent 进行比较,

 d(x,y) = x.y / (|x| * |y|)

分母因 x.y 项而不同。如果 x.y 为零，则谷本和余弦相似系数将相同。

几何上，当且仅当x 和y 垂直时，x.y 为零。

由于 x 和 y 是位向量(即每个维度的值只能为 0 或 1)，因此 x.y 等于 0 意味着

x1*y1 + x2*y2 + ... + xn*yn = 0

如果 xi*yi = 1*1 = 1，则总和将为正。为了使总和为零，没有项 xi*yi 可以等于 1。它们必须全部等于 0:

所以

x1*y1 = 0
x2*y2 = 0
...
xn*yn = 0

换句话说，如果 xi 为 1，则 yi 必定为 0，反之亦然。

所以有大量的例子表明谷本相似度等于余弦相似度:

x = (0,1,0,1)
y = (1,0,0,0)

例如。