matlab - 为什么旋转 3D 点云后顶点法线会翻转？

Question

我有两个人脸 3D 点云样本。蓝色点云表示目标面，红色点云表示模板。下图显示目标面和模板面在不同方向对齐(目标面大致沿 x 轴，模板面大致沿 y 轴)。

图 1: Nose 周围的区域如图 1 所示。

我想以鼻尖为旋转中心旋转我的目标脸(蓝色脸)(我将目标转换为图 1 之前的模板，以便鼻尖，即 centerpt，因为两个面都是叠加的)以与模板面(红色面)大致对齐。我使用以下 MATLAB 代码旋转了目标面:

% PCA for the target face
targetFaceptfmt = pointCloud(targetFace); % Convert to point cloud format
point = [templateFace(3522, 1), templateFace(3522, 2), templateFace(3522, 3)]; % The 3522th point in the templateFace is the nasal tip point used as center of rotation later on
radius = 20; % 20mm
[NNTarIndex, NNTarDist] = findNeighborsInRadius(Locationptfmt, point, radius); % Find all vertices within 20 of the nasal tip point on the target face
NNTar = select(Locationptfmt, NNTarIndex); % Select the identified points for PCA
[TarVec,TarSCORE,TarVal] = pca(NNTar.Location); % Do PCA for target face using vertices close to the nasal tip

% PCA for the template face
templateFaceptfmt = pointCloud(templateFace); % Convert to point cloud format
[NNTemIndex, NNTemDist] = findNeighborsInRadius( templateFaceptfmt, point, radius); % Find all vertices within 20 of the nasal tip point on the template
NNTem = select(templateFaceptfmt, NNTemIndex); % Select the identified points for PCA
[TemVec,TemSCORE,TemVal] = pca(NNTem.Location); % Do PCA for template face using vertices close to the nasal tip

% Rotate target face with nasal tip point as the center of rotation
targetFace_r = R * (targetFace-cenertpt)' + centerpt';
targetFace_new = targetFace_r';

其中 targetFace 和 templateFace 分别包含未旋转的目标面和模板面的坐标。 targetFace_r为目标人脸绕鼻尖旋转后的坐标，R为PCA计算的旋转矩阵(旋转公式来源见here)，centerpt 为鼻尖点，用作旋转中心。然后我绘制了转置的 targetFace_r，即 targetFace_new，每个顶点都添加了法线:

图 2:

在旋转之前，目标面和模板面的法线通常指向相似的方向(图 1)。旋转后，目标面和模板面都沿 y 轴对齐(这是我想要的)，但是，目标面和模板面的法线指向相反的方向。请记住，没有对模板面进行任何更改，我意识到旋转后计算的目标面的法线被翻转了。但我不知道为什么。我使用 R 中 Rvcg 包的 checkFaceOrientation 函数来检查沿法线的扩展是否会增加质心大小。模板面返回 TRUE，目标面返回 FALSE，这确认目标面的顶点法线已翻转。

顶点法线在 MATLAB 中计算如下:

TR = triangulation(Faces, Vertices); % Triangulation based on face and vertex information
VN = vertexNormal(TR); % Calculate vertext normal

其中 Faces 包含面信息，即连接列表，Vertices 包含顶点坐标。对于旋转前的目标面、旋转后的目标面和模板面，分别计算顶点法线。我使用相同的 Faces 数据计算旋转目标面前后的顶点法线。

翻转的顶点法线导致一些进一步分析的错误。因此，我必须手动翻转法线，使它们与模板面的法线指向相似。

图 3: 从图3可以看出，手动翻转法线后，目标面和模板面的法线方向大致相同。

我的问题是为什么旋转后计算的目标面的法线翻转了？在什么情况下 3D 点云的旋转会导致顶点法线翻转？

一些可能有用的信息:我得到的旋转矩阵R如下，供大家引用:

0.0473096146726546  0.867593376108813   -0.495018720950670
0.987013081649028   0.0355601323276586  0.156654567895508
-0.153515396665006  0.496001220483328   0.854643675613313

由于 trace(R) = 1 + 2cos(alpha)，我通过 acos((trace(R)-1)/2)*180/pi 计算了 alpha >，相对于鼻尖点的旋转角度为 91.7904。

Answer 1

如果我没有理解错的话，看起来你的旋转矩阵实际上是在编码旋转加反射。如果您的矩阵大约是:

 0.04  0.86  -0.49
 0.98  0.03   0.15
-0.15  0.49   0.85

那么每个单位向量指向正轴的图像是:

x = [ 0.04 0.98 -0.15]
y = [ 0.86 0.03  0.49]
z = [-0.49 0.15  0.85]

但是，如果您采用 x 和 y 的叉积 (cross(x, y))，您将得到大约 [0.49 -0.15 -0.85]，它是 z 的否定，这意味着矩阵正在对旋转和反射进行编码。自然地，将网格的顶点乘以反射矩阵会反转其多边形的缠绕顺序，从而产生反转的法线。

在您引用的幻灯片中，它指出生成旋转矩阵的 PCA 方法在 3D 情况下应仅考虑四种不同的轴组合，以确保输出矩阵遵守右手法则。如果检查了所有轴的组合，那么 PCA 将在搜索最佳匹配时同时考虑旋转空间和反射空间。如果是这种情况，并且如果数据中存在一些噪声，使得模板的左半部分与目标的右半部分匹配得稍微好一些，反之亦然，那么 PCA 方法可能会生成一个反射矩阵，如下所示你观察。也许您可能想重新审视如何从 PCA 结果生成 R 的逻辑？