matlab - Matlab如何标准化广义特征向量？

Question

我知道 eig(A) 生成的特征向量具有 2-范数 1。但是在广义特征值问题 eig(A,B) 中生成的向量又如何呢？一个自然的猜想是这样的向量v应该满足v'Bv=1。当 B 是单位矩阵时，v'Bv 恰好是 2-范数的平方。我对各种矩阵 A 和 B 进行了以下测试:

[p,d]=eig(A,B);
v=p(:,1);
v'*B*v

我总是选择 B 为对角线。我注意到 v'Bv 并不总是 1。然而，当 A 对称时它确实是 1。有谁知道Matlab标准化广义特征向量的规则吗？我在文档中找不到它。

Answer 1

根据the documentation (强调我的):

The form and normalization of V depends on the combination of input arguments:

• [...]

• [V,D] = eig(A,B) and [V,D] = eig(A,B,algorithm) returns V as a matrix whose columns are the generalized right eigenvectors that satisfy A*V = B*V*D. The 2-norm of each eigenvector is not necessarily 1. In this case, D contains the generalized eigenvalues of the pair, (A,B), along the main diagonal.

  When eig uses the 'chol' algorithm with symmetric (Hermitian) A and symmetric (Hermitian) positive definite B, it normalizes the eigenvectors in V so that the B-norm of each is 1.

这意味着，除非您使用 'chol' 算法，否则 V 不会标准化。