3d - 高效四元数角速度

Question

我有一个用四元数表示的方向和一个用四元数或数字(围绕原始方向的每秒弧度)表示的角速度。我了解如何使用转换为轴角来执行此操作，但该方法在计算上相当昂贵并且不是一个现实的选择。在给定时间间隔(以秒为单位)的情况下，我将如何修改方向四元数？我需要针对这两种情况(四元数和数字)的解决方案。但是，将一种情况转换为另一种情况是可以接受的，并且可能更可取，具体取决于转换所需的各种算法/公式的计算复杂度。

Answer 1

要更新方向，您需要将当前方向乘以增量旋转。这是与轴角转换相当昂贵的操作。

表示角速度的常用方法是“指数图”，即与旋转轴平行的 3d 矢量和旋转速度的大小(每秒弧度)。转换为 delta 旋转四元数看起来像

Quaternion deltaRotation(const Vector3& em, double deltaTime)
{
   Vector3 ha = em * deltaTime * 0.5; // vector of half angle
   double l = ha.norm(); // magnitude
   if (l > 0) {
      ha *= sin(l) / l;
      return Quaternion(cos(l), ha.x(), ha.y(), ha.z());
   } else {
      return Quaternion(1.0, ha.x(), ha.y(), ha.z());
   }
}

如果您的 deltaTime 较小​​且旋转速度较小，您可以使用 1st Taylor 级数乘数的近似值。但是您应该规范化结果四元数以避免更频繁地出现数值不稳定。

Quaternion deltaRotationAppx1(const Vector3& em, double deltaTime)
{
   Vector3 ha = em * deltaTime * 0.5; // vector of half angle
   return Quaternion(1.0, ha.x(), ha.y(), ha.z());
}