r - 为什么 (e^x-1)/x 不能正常工作，但 (e^x-1)/log(e^x) 可以？

Question

我想问一个问题，为什么非常接近于零的数字的 (e^x-1)/x 的计算值不能正常工作(例如，如果 x=10^-15，结果是 1.1102230)，但是当我使用等价的数学公式 (e^x-1)/log(e^x) 时，它给出了 1.000000 的正确结果。谢谢。

Answer 1

问题是第一个函数表现出所谓的灾难性抵消:对于 x 接近 0，e^x/em> 非常接近 1 + x。由于 float 在 1 附近的密度低于 0，表达式 e^x − 1 的结果将非常接近 x，但是由于中间舍入而失去准确性。

第二个利用了一个巧妙的技巧来“抵消”舍入误差。事实上，此特定示例在 section 1.14.1 中有详细介绍。 Nicholas J. Higham 的优秀著作数值算法的准确性和稳定性。他解释的关键是

The expression (e^x − 1) / x cannot be accurately evaluated for a given x ≈ 0 in floating point arithmetic, while the expression (y − 1) / log y can be be accurately evaluated for a given y ≈ 1. Since these functions are slowly varying near x = 0 (y = 1), evaluating (y − 1) / log y with an accurate, if inexact, approximation to y = e^x ≈ 1 produces an accurate result.