c - 球与线相交的参数方程和代数方程之间的区别

Question

我正在用 C 语言编写光线追踪器，并使用笛卡尔方程绘制球体:

x^2 + y^2 + z^2 = R^2.

我有我的眼睛位置(x_eye、y_eye、z_eye)和我的眼睛 vector (Vx、Vy、Vz)。我的线的参数方程是:

x = x_eye + k * Vx  
y = y_eye + k * Vy  
z = z_eye + k * Vz

我将直线的参数方程代入球体的笛卡尔方程中来求解

(x_eye + k * Vx)^2 + (y_eye + k * Vy)^2 + (z_eye + k * Vz)^2 = R^2  

(Vx^2 + Vy^2 + Vz^2) * k^2 + 2 * (x_eye*Vx + y_eye*Vy + z_eye*Vz) * k + (x_eye^2 + y_eye^2 + z_eye^2 - R^2) = 0  

我现在得到了一个像 ax^2 + bx + c = 0 这样的方程，并用以下命令定义 a、b、c:

a = (Vx^2 + Vy^2 + Vz^2) * k^2  
b = 2 * (x_eye * Vx + y_eye * Vy + z_eye * Vz) * k  
c = (x_eye^2 + y_eye^2 + z_eye^2 - R^2)  

如果存在交集，我可以为每个像素找到 k (b^2 - 4.a.c >= 0)。

但是有没有其他方法可以使用这些线和球的参数方程来找到 k
行:

x = x_eye + k * Vx  
y = y_eye + k * Vy  
z = z_eye + k * Vz  

对于球体:

x = R.cos(u).cos(v)  
y = R.sin(u).cos(v)  
z = R.sin(v)  

如何用这两个参数方程找到 k？
我应该做什么

x_eye + k * Vx  = R.cos(u).cos(v)  
y_eye + k * Vy  = R.sin(u).cos(v)  
z_eye + k * Vz  = R.sin(v)  

Answer 1

解决系统

x_eye + k * Vx  = R.cos(u).cos(v)  
y_eye + k * Vy  = R.sin(u).cos(v)  
z_eye + k * Vz  = R.sin(v)

首先对每个方程两边进行平方，然后将所有三个方程相加。然后使用三角恒等式简化右侧，直到得到

(x_eye + k * Vx)^2 + (y_eye + k * Vy)^2 + (z_eye + k * Vz)^2 = R2  

这与您之前的 k 方程相同。

但总的来说，这可能不是一个实用的方法。由于您正在尝试编写光线追踪器，因此您不想手动求解每个方程。相反，使用一些系统求解算法。一个好的起点可能是查找有关多个变量的牛顿法和割线法的一些信息。任何关于数值分析的入门教科书都应该包含大量可以帮助您入门的信息。