vector - 从高度图计算法线

Question

我正在尝试使用中央差分将高度图转换为法线矩阵，该差分稍后将与给定点的陡度相对应。

我找到了一些具有正确结果的链接，但没有解释其背后的数学原理。

  T
L O R
  B

从 this link我意识到我可以做到:

Vec3 normal = Vec3(2*(R-L), 2*(B-T), -4).Normalize();

问题是，我不知道 2*和 -4的来源。

在 this explanation of central differencing中，我看到我们应该将该值除以2，但是我仍然不知道如何连接所有这些值。

我真正想知道的是背后的线性代数定义。
我有一个高度图，我想测量中心差，我想获得法线矢量，以后再用它来测量陡度。

PS:Z轴为高度。

Answer 1

根据矢量演算，曲面的法线由梯度运算符给出:



高度图h(x, y)是f函数的一种特殊形式:



对于离散的高度图，假设网格大小为1，则上述两个导数项的一阶近似由下式给出:



由于从x到L的R步骤为2，因此y也是一样。上面的内容就是您所拥有的公式，除以4即可。对这个向量进行归一化后，因数4会被抵消。

(在编写此答案时，没有线性代数受到损害)