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我正在尝试使用矩阵代数来操作字符串。这意味着能够使用字符串或字符串数组的串联和粘贴来实现多个类似矩阵的结构。
我之前尝试在 R 上实现这个东西,但这是不可能的,因为矩阵只能有一维条目。
我希望足够的与语言无关和抽象,但为了清楚起见,我将使用类似 R 的代码。我应该明确表示,我不需要真正的矩阵,而是需要类似矩阵的结构,我们可以在其上进行类似矩阵的乘法并检索结构的 (ij) 元素。
{+,*} 矩阵乘法
两个维度为 n 的方阵 A 和 B 的 {+,*}-乘积是由元素定义的矩阵 C : Ci,j = Sumk=1,...,nAi, k * Bk,j。
例如,考虑矩阵 M <- matrix(c(a,b,0,0,c,d,0,0,e),3,3)
。那么M乘M就是M <- matrix(c(a^2,a*b+b*c,b*d,0,c^2,c*d+d*e,0,0,e^2),3,3)
.
{c(,),paste0(,)} 矩阵乘法
我想要实现的这个运算的规则与前面所说的乘法相同,但基本的变化是和应该是一个串联,而乘积应该是一个粘贴。换句话说,在前面的公式中我们发现 a+b
,现在输出应该是“c(a,b)”,当我们找到a*b
时,现在我们应该将其读作 paste0(a,b)
.
必须尊重一些常见的属性,即分布属性和 0 元素属性。因此,如果a <- c("q",0,"w")
和b <- c("e")
然后a*b <- c("qe",0,"we")
(我们应该随意忘记 0 元素,将其删除,因为它不会影响计算。
此外,我们将等维矩阵相乘,因此每个元素Ci,j = Sumk=1,...,nAi,k * Bk,j 现在读作 c("A[i,1]B[1,j]",...,"A[i,n]B[n,j]")
.
最后,类似结果矩阵的结构应该是我们可以再次用于计算的东西(例如,进行更复杂的计算,如 mult(mult(A,B),C) 等等......)。
更简单的情况
为了简单起见,让我们从 mult(A,A)
形式的乘积计算开始, mult(mult(A,A),A)
等等。我们还可以将 A 强加为一个简单矩阵,这意味着它的每个元素都是一维字符串,而不是字符串的串联。
举个例子吧。让我们定义一个 3 维矩阵 A <- matrix(c("a","b",0,0,"c","d",0,0,"e"),3,3)
,那么 A 乘以 A 应该是 mult(A,A) = matrix(c("aa",c("ab","bc"),"bd",0,"cc",c("cd","de"),0,0,"ee"),3,3)
和 A3 应该是 mult(mult(A,A),A) = matrix(c("aaa",c("aab","abc","bcc"),c("abd","bcd","bde"),0,"ccc",c("ccd","cde","dee"),0,0,"eee"),3,3)
.
问题
您将如何实现这一点?哪种语言似乎更合适?
最佳答案
以下是 R 中矩阵符号乘法的一些想法:
首先我们需要定义行和列的内积。这可以通过以下方式完成:
wrap <- function(x) paste0("(",x,")")
rowcol <- function(row,col) paste(wrap(row),wrap(col),sep="*",collapse="+")
示例:
> rowcol(c("A","B","C"),c("D","E","F"))
[1] "(A)*(D)+(B)*(E)+(C)*(F)"
我必须将每个元素“包裹”在括号中,因为大于 2 的幂可能比单个变量或数字(零)具有更复杂的表达式。另外,请注意,零将正常显示,即,它(尚)不知道这些可以被简化:
> rowcol(c("A","B"),c("0","X+Y"))
[1] "(A)*(0)+(B)*(X+Y)"
由于这些是 R 中的有效表达式,因此可以使用这一事实编写一个简化函数来消除零和多余的括号。我会到达那里。
现在矩阵乘法和幂很简单:
symprod <- function(A,B) sapply(1:ncol(B), function(j)sapply(1:nrow(A), function(i)rowcol(A[i,],B[,j])))
sympow <- function(A,n) { B <- A; for( i in seq_len(n-1) ) B <- symprod(B,A); B }
他们创建有效的(尽管笨拙)表达式:
> A <- matrix(LETTERS[1:4],2,2)
> diag(A) <- 0
> sympow(A,3)
[,1] [,2]
[1,] "((0)*(0)+(C)*(B))*(0)+((0)*(C)+(C)*(0))*(B)" "((0)*(0)+(C)*(B))*(C)+((0)*(C)+(C)*(0))*(0)"
[2,] "((B)*(0)+(0)*(B))*(0)+((B)*(C)+(0)*(0))*(B)" "((B)*(0)+(0)*(B))*(C)+((B)*(C)+(0)*(0))*(0)"
现在我们来谈谈简化。这些字符串可以解析为有效的 R 表达式,因为它们符合 R 标准。不需要定义变量,因为我们不会计算表达式。实际上我只是想解析它们以方便简化。
检查下面的函数。它删除了多余的括号,用零替换零乘以任何值,并删除零的地 block (另外):
simplify <- function(e)
{
if( mode(e) %in% c("name","numeric") ) return(e)
if( as.character(e[[1]])=="+" )
{
x <- simplify(e[[2]])
y <- simplify(e[[3]])
if( identical(x,0) ) return(y)
if( identical(y,0) ) return(x)
return(call("+", x, y))
}
if( as.character(e[[1]])=="*" )
{
x <- simplify(e[[2]])
if( identical(x,0) ) return(0)
y <- simplify(e[[3]])
if( identical(y,0) ) return(0)
return(call("*", x, y))
}
if( as.character(e[[1]])=="(" )
{
x <- simplify(e[[2]])
if( mode(x) %in% c("name","numeric") ) return(x)
return(call("(", x))
}
}
此函数与call
对象一起使用。要与我们需要的字符串一起使用
simplify_text <- function(s) deparse(simplify(parse(text=s)[[1]]))
示例:
> simplify_text("(x)+(0*(a+b))+(z)")
[1] "x + z"
如果需要,您可以将其用作 rowcol
的包装:
rowcol <- function(row,col) simplify_text(paste(wrap(row),wrap(col),sep="*",collapse="+"))
结果是:
> sympow(A,3)
[,1] [,2]
[1,] "0" "(C * B) * C"
[2,] "(B * C) * B" "0"
可以编写其他一些简化,这取决于计划如何使用它们。但是,如果输入矩阵是有效表达式的字符串,则最终结果仍然有效。
<小时/>编辑:rowcol
的不同方法:
考虑这些函数:
cellprod <- function(r, s)
{
z <- expand.grid(r,s, stringsAsFactors=FALSE)
filter <- (z$Var1 != 0) & (z$Var2 != 0)
paste(z$Var1[filter], z$Var2[filter], sep="*", collapse="+")
}
rowcol <- function(row,col)
{
x <- strsplit(row, "\\+")
y <- strsplit(col, "\\+")
L <- vapply(seq_along(x), function(i) cellprod(x[[i]],y[[i]]), character(1))
filter <- nzchar(L)
if( ! any(filter) ) return("0")
paste(L[filter], collapse="+")
}
使用这些函数代替上面的函数,我们可以处理具有 x*y*z+a*b+f
形式的表达式的矩阵,i。即每个单元格中的乘积之和。这些函数自动应用分配律,保留形式(乘积和)并自动删除零。上面的最后一个例子变成:
> sympow(A,3)
[,1] [,2]
[1,] "0" "C*B*C"
[2,] "B*C*B" "0"
无需简化!另一个例子:
> A <- matrix(LETTERS[1:9],3,3)
> B <- matrix(LETTERS[10:18],3,3)
> A[2,3] <- 0
> A[3,2] <- 0
> B[1,3] <- 0
> B[3,1] <- 0
> A
[,1] [,2] [,3]
[1,] "A" "D" "G"
[2,] "B" "E" "0"
[3,] "C" "0" "I"
> B
[,1] [,2] [,3]
[1,] "J" "M" "0"
[2,] "K" "N" "Q"
[3,] "0" "O" "R"
> symprod(A,B)
[,1] [,2] [,3]
[1,] "A*J+D*K" "A*M+D*N+G*O" "D*Q+G*R"
[2,] "B*J+E*K" "B*M+E*N" "E*Q"
[3,] "C*J" "C*M+I*O" "I*R"
关于string - 使用矩阵代数来操作字符串: is it feasible?,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/15725930/
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