python - 对数正态分布的均值和标准差与分析值不匹配

Question

作为研究的一部分，我从对数正态分布测量平局的均值和标准差。给定基础正态分布的值，应该可以分析性地预测这些数量（如https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution所示）。

但是，如下图所示，情况似乎并非如此。第一个图显示了对数正态数据相对于高斯σ的均值，而第二个图显示了对数正态数据相对于高斯的σ。显然，“计算”线与“分析”线非常不同。

我将高斯分布的均值与mu = -0.5*sigma**2与sigma相关联，因为这确保了对数正态场的均值应为1。请注意，这是由我从事的物理学领域引起的：例如，如果设置mu=0.0，分析值仍然会发生。

通过将代码复制并粘贴到问题的底部，应该可以复制下面的图。任何有关可能导致此问题的建议将不胜感激！

对数正态与高斯西格玛的均值：


对数正态的Sigma与高斯的Sigma：


注意，要生成上面的图，我使用了N=10000，但是为了提高速度在下面的代码中添加了N=1000。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

mean_calc = []
sigma_calc = []
mean_analytic = []
sigma_analytic = []
ss = np.linspace(1.0,10.0,46)
N = 1000

for s in ss:
  mu = -0.5*s*s
  ln = np.random.lognormal(mean=mu, sigma=s, size=(N,N))
  mean_calc += [np.average(ln)]
  sigma_calc += [np.std(ln)]
  mean_analytic += [np.exp(mu+0.5*s*s)]
  sigma_analytic += [np.sqrt((np.exp(s**2)-1)*(np.exp(2*mu + s*s)))]

plt.loglog(ss,mean_calc,label='calculated')
plt.loglog(ss,mean_analytic,label='analytic')
plt.legend();plt.grid()
plt.xlabel(r'$\sigma_G$')
plt.ylabel(r'$\mu_{LN}$')
plt.show()

plt.loglog(ss,sigma_calc,label='calculated')
plt.loglog(ss,sigma_analytic,label='analytic')
plt.legend();plt.grid()
plt.xlabel(r'$\sigma_G$')
plt.ylabel(r'$\sigma_{LN}$')
plt.show()

Answer 1

TL; DR

对数正态分布呈正偏态，尾部分布较重。当对从高度偏斜分布中抽取的样本执行浮点算术运算（例如求和，均值或标准差）时，采样向量将包含在几个数量级（数十年）内具有差异的值。这使得计算不准确。

问题来自这两行：

mean_calc += [np.average(ln)]
sigma_calc += [np.std(ln)]

因为 ln包含非常低和非常高的值，其数量级远高于浮点精度。

使用以下谓词可以很容易地检测到该问题，以警告用户其计算错误：

 (max(ln) + min(ln)) <= max(ln)

在严格正实数中这显然是错误的，但在使用有限精度算术时必须考虑。

修改您的MCVE

如果我们将您的 MCVE稍微修改为：

from scipy import stats

for s in ss:
    mu = -0.5*s*s
    ln = stats.lognorm(s, scale=np.exp(mu)).rvs(N*N)
    f = stats.lognorm.fit(ln, floc=0)
    mean_calc += [f[2]*np.exp(0.5*s*s)]
    sigma_calc += [np.sqrt((np.exp(f[0]**2)-1)*(np.exp(2*mu + s*s)))]
    mean_analytic += [np.exp(mu+0.5*s*s)]
    sigma_analytic += [np.sqrt((np.exp(s**2)-1)*(np.exp(2*mu + s*s)))]

即使对于较高的sigma值，它也可以给出合理正确的均值和标准差估计。




关键是 fit使用MLE算法估计参数。这与您直接执行样本均值的原始方法完全不同。

fit方法返回带有 (sigma, loc=0, scale=exp(mu))的元组，该元组是文档中指定的 scipy.stats.lognorm对象的参数。

我认为您应该研究如何估算均值和标准差。差异可能来自算法的这一部分。

可能有多种原因，至少要考虑以下因素：


估算师偏爱：您的估算师正确无误吗？均值是无偏估计量（请参阅下一部分），但可能没有效率。
伪随机发生器的异常值可能不如理论分布那么强烈：MLE可能不如您的估计器敏感新的MCVE波纹管不支持此假设，但Float Arithmetic Error可以解释为什么您的估计器被低估了；
浮点运算错误新的MCVE波纹管突出显示它是问题的一部分。


科学报价

即使没有偏见，幼稚的均值估计器（简单地采用均值）似乎也无法有效地估计大sigma的均值（请参见Qi Tang， Comparison of Different Methods for Estimating Log-normal Means，第11页）：


天真的估计量易于计算且无偏见。然而，
当方差较大且样本较多时，此估算器可能效率很低
尺寸很小。


本文回顾了几种估计对数正态分布均值的方法，并以MLE作为比较的参考。这就解释了为什么您的方法会随着sigma的增加而发生漂移，而MLE会更好地粘附，因为对于大的N而言，这没有时间效率。

统计考虑

回忆比：


Lognormal是 heavy且正尾偏正的长尾分布。一个结果是：随着形状参数sigma的增加，不对称和偏斜度也增加，离群值的强度也增加。
样本数量的影响：随着从分布中抽取的样本数量的增加，对异常值的期望也随之增加（程度也随之增加）。





建立一个新的MCVE

让我们构建一个新的MCVE使其更加清晰。下面的代码从形状参数变化（ N和 100之间的 10000范围）并且将scale参数设置为的对数正态分布中绘制了不同大小（ sigma和 0.1之间的 10范围）的样本。酉。

import warnings
import numpy as np
from scipy import stats

# Make computation reproducible among batches:
np.random.seed(123456789)

# Parameters ranges:
sigmas = np.arange(0.1, 10.1, 0.1)
sizes = np.logspace(2, 5, 21, base=10).astype(int)

# Placeholders:
rv = np.empty((sigmas.size,), dtype=object)
xmean = np.full((3, sigmas.size, sizes.size), np.nan)
xstd = np.full((3, sigmas.size, sizes.size), np.nan)
xextent = np.full((2, sigmas.size, sizes.size), np.nan)
eps = np.finfo(np.float64).eps

# Iterate Shape Parameter:
for (i, s) in enumerate(sigmas):
    # Create Random Variable:
    rv[i] = stats.lognorm(s, loc=0, scale=1)
    # Iterate Sample Size:
    for (j, N) in enumerate(sizes):
        # Draw Samples:
        xs = rv[i].rvs(N)
        # Sample Extent:
        xextent[:,i,j] = [np.min(xs), np.max(xs)]
        # Check (max(x) + min(x)) <= max(x)
        if (xextent[0,i,j] + xextent[1,i,j]) - xextent[1,i,j] < eps:
            warnings.warn("Potential Float Arithmetic Errors: logN(mu=%.2f, sigma=%2f).sample(%d)" % (0, s, N))
        # Generate different Estimators:
        # Fit Parameters using MLE:
        fit = stats.lognorm.fit(xs, floc=0)
        xmean[0,i,j] = fit[2]
        xstd[0,i,j] = fit[0]
        # Naive (Bad Estimators because of Float Arithmetic Error):
        xmean[1,i,j] = np.mean(xs)*np.exp(-0.5*s**2)
        xstd[1,i,j] = np.sqrt(np.log(np.std(xs)**2*np.exp(-s**2)+1))
        # Log-transform:
        xmean[2,i,j] = np.exp(np.mean(np.log(xs)))
        xstd[2,i,j] = np.std(np.log(xs))

观察： sigma > 4时，新的MCVE开始发出警告。

MLE作为参考

使用MLE估计形状和比例参数的效果很好：




上面的两个图显示：


估计误差与形状参数一起增长；
估计误差随着样本量的增加而减小（ CTL）；


请注意，MLE也非常适合shape参数：



浮点运算

绘制绘制样本的范围与形状参数和样本大小的关系是值得的：



或最小和最大数字之间的小数位数形成样本：



在我的设置中：

np.finfo(np.float64).precision  # 15
np.finfo(np.float64).eps        # 2.220446049250313e-16

这意味着我们最多可以使用15个有效数字，如果两个数字之间的大小超出，那么最大的数字将吸收较小的数字。

一个基本的例子：如果我们只能保留四个有效数字， 1 + 1e6的结果是什么？
确切结果为 1,000,001.0，但必须四舍五入为 1.000e6。这意味着：由于舍入精度，运算的结果等于最大数。它是有限精度算法的固有特性。

上面的前两个图结合统计考虑因素，可以支持您观察到增加 N不会改善MCVE中较大的 sigma值的估计。

上图和下图显示的是 sigma > 3时，我们没有足够的有效数字（小于5）来执行有效的计算。

更进一步，我们可以说估计量将被低估，因为最大的数将吸收最小的量，然后被低估的总和将除以 N，使估计量默认为有偏差。

当形状参数变得足够大时，由于 Arithmetic Float Errors，计算将受到严重偏差。

这意味着使用诸如：

np.mean(xs)
np.std(xs)

在计算时，由于 xs中存储的值之间的重大差异，估计值将具有巨大的算术浮点误差。下图重现了您的问题：




如前所述，估计是默认值（不会过多），因为采样向量中的高值（少数异常值）会吸收小值（大部分采样值）。

对数转换

如果应用 logarithmic transformation，则可以大大减少这种现象：

xmean[2,i,j] = np.exp(np.mean(np.log(xs)))
xstd[2,i,j] = np.std(np.log(xs))

然后，对均值 is correct的天真的估计就不会受到算术浮点误差的影响，因为所有样本值都将在几十年之内，而不是相对大小高于浮点算术精度。

实际上，对于每个 N和 sigma，采用对数变换得出的均值和标准差估计值均与MLE相同：

np.allclose(xmean[0,:,:], xmean[2,:,:])  # True
np.allclose(xstd[0,:,:], xstd[2,:,:])    # True

参考

如果要在进行科学计算时寻找此类问题的完整和详细的说明，我建议您 read the excellent book：N. J. Higham，《数值算法的准确性和稳定性》，Siam，第二版，2002年。

奖金

这里是图形生成代码的示例：

import matplotlib.pyplot as plt

fig, axe = plt.subplots()
idx = slice(None, None, 5)
axe.loglog(sigmas, xmean[0,:,idx])
axe.axhline(1, linestyle=':', color='k')
axe.set_title(r"MLE: $x \sim \log\mathcal{N}(\mu=0,\sigma)$")
axe.set_xlabel(r"Standard Deviation, $\sigma$")
axe.set_ylabel(r"Mean Estimation, $\hat{\mu}$")
axe.set_ylim([0.1,10])
lgd = axe.legend([r"$N = %d$" % s for s in sizes[idx]] + ['Exact'], bbox_to_anchor=(1,1), loc='upper left')
axe.grid(which='both')
fig.savefig('Lognorm_MLE_Emean_Sigma.png', dpi=120, bbox_extra_artists=(lgd,), bbox_inches='tight')