opengl - 在 OpenGL 中通过超球面导航

Question

也许这适合 math.stackexchange.com，但由于我是在 OpenGL 中编程的，所以我会在这里问。

我有一个宇宙飞船游戏的想法，其中世界被限制在 4-D 超球体(也称为 3 球体)的表面。因此，从内部看它就像一个 3 维世界，但通过向各个方向导航，我永远不会离开 3 维球体的有限体积。

为了将 3-shpere 表示为“平坦”的 3-D 空间，我使用了立体投影，作为 GLSL 着色器实现起来非常简单，只需将输入向量除以其 w 坐标即可。

为了表示对象的顶点，我使用标准化的 4d 向量，使得 x²+y²+z²+w²=1，从而将它们保持在 3 维球内。

首先要解决的问题是旋转。但我很快发现普通的 3d 旋转矩阵足以在 3d 投影中围绕观察者旋转世界，因为它不会弄乱 w 坐标(很像围绕 z 轴旋转球体也会旋转它的立体投影)。

然后我发现沿 w 轴旋转等同于 3d 投影内的平移(只是不可交换，作为“平坦”空间上的普通 3d 平移)，然后我可以通过使用简单的 around 沿轴平移轴旋转矩阵 (x', y') = (x * cos a - y * sin a, x * sin a + y * cos a)，但 w 随另一个轴变化。

到目前为止，这是我到达的位置，但我无法根据观看者从投影中面向的位置弄清楚如何向前导航。我可以应用逆变换来导出观众在超球面坐标中面对的归一化 4-D 矢量(称为 F)，但我不知道如何使用 4x4 矩阵(OpenGL 中的最佳矩阵)朝那个方向导航).我可以考虑一个 hackish 解决方案:对于每个顶点 V，做 V' = normalize(d*F + V)，其中 d 是向前移动的距离(在一些奇怪的单位中我不能完全精确)。这种方式只适用于较小的d值，d与角度变化之间没有直接关系。

因此问题是:如何在 4-D 超球面中向前移动(使用 4x4 矩阵变换)？

Answer 1

原来前段时间写了一些这方面的论文。这个 ( Interactive Visualization Methods For Four Dimensions ) 最适合您的特定问题，但引用这个的其他文档也可能对您有所帮助。在那个特定的应用程序中，我在 4D 中旋转被观察的对象，而不是观察者，但数学是等价的。

关于这个具体问题:

Thus the question is: how to move forward (using a 4x4 matrix transform) being in the surface of an 4-D hypersphere?

如果您在超球体的表面上四处移动，您并不是在翻译w。您实际上需要在球形几何体中围绕单位半径的大圆移动。这意味着，如果您可以为您的参照系构建适当的轴，您可以 spherically interpolate在你所处的位置和你要去的地方之间。

例如，可用于此类 slerp 的一种构造是使用指向正前方的单位向量(您的视线，在维基百科方程中又名 p_1)，向量指向顶部你的头部 ( p_0 ) 和一个指向你右耳的向量(以形成右手坐标系)。

如果您随后以角速度而不是线性速度跟踪球体上的速度，则只需插入一个值 t (耗时)在维基百科中找到您的新角度位置。

请注意，该等式对顶点 p 中的分量数量没有限制。 .球面插值适用于任何几何形状。

编辑(回答评论中的问题):

Slerp seems not to be the case here, because I do not want to interpolate a rotation between 2 vectors over time. Instead, at each time step, I want to move every vertex into the opposite direction the viewer is moving at that moment. Thus, I am at position (0, 0, 0, 1) and I want to be at (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2, 0, 0) next frame.

这样想:您在球体(任意维度)上的位置是一个矢量，它将您从中心移到表面。如果您以特定角速度四处移动，那么您在 p0 和时间 t0，p1 在时间 t1，等等。Slerp 是计算特定时间这些位置的便捷方法。

同样，您的视线是与位移矢量成直角的矢量。视线在时间 t0 时为 v0，在时间 t1 时为 v1，依此类推。 Slerp 再次可用于计算该向量。

How can I build the correspondent transformation matrix, so every vertex will be multiplied by the inverse of it?

使用这两个向量，orthogonalization给你第三个，你现在有了一个新的引用系。有一个single quaternion that defines the rotation从你原来的引用系到这个新的引用系。这就是您要找的。

但是，在将您的世界渲染到二维屏幕上之前，您首先需要将其从 4D 渲染为 3D。 OpenGL(不出所料)并不直接支持这一点。

要了解原因，请查看 perspective projection matrix .它假定您在 3D 空间中渲染同质点:x、y、z 在前三个分量中，w(比例因子)在第四个分量中。 w = 0 表示一个向量，而 w = 任何其他表示一个点。 w = 1 以外的任何值都是非归一化点。

因此，无法在 (0, 0, 0, 0) 的 4D 原点处渲染点。

但是，从矩阵的构造可以看出，制作 4D 到 3D 投影矩阵并不难。首先将其独立于 OpenGL 的矩阵管道应用于您的几何图形集。然后，您可以使用 OpenGL 标准矩阵将 3D 显示到屏幕上。