matlab - 高斯-赛德尔法超过机器数？

Question

祝大家新年快乐! :)

我正在 Matlab 中编写 Gauss-Seidel 函数，但遇到了一些问题。

当精度达到 6 位小数时，迭代必须停止。这意味着x-xprevious的无限范数(要求使用它)必须小于0.5*10^(-6)。首先，这是我的功能:

function [x] = ex1_3(A,b)

format long 

sizeA=size(A,1);

x=zeros(sizeA,1);  

%Just a check for the conditions of the Gauss-Seidel Method
for i=1:sizeA
    sum=0;
    for j=1:sizeA
        if i~=j 
            sum=sum+A(i,j);
        end
    end
    if A(i,i)<sum
        fprintf('\nGauss-Seidel''s conditions not met!\n');
        return     
    end
end

%Actual Gauss-Seidel Method

max_temp=10^(-6); %Pass first iteration
while max_temp>(0.5*10^(-6))
    xprevious=x;
    for i=1:sizeA
        x(i,1)=b(i,1);
        for j=1:sizeA
            if i~=j
              x(i,1)=x(i,1)-A(i,j)*x(j,1); 
            end
        end
        x(i,1)=x(i,1)/A(i,i);
    end
    x
    %Calculating infinite norm of vector x-xprevious 

    temp=x-xprevious;
    max_temp=temp(1,1);
    for i=2:sizeA
       if abs(temp(i,1))>max_temp
           max_temp=abs(temp(i,1));
       end
    end
end

现在问题来了!当我为 3x3 数组调用该函数时，我认为它有效。但是，当我为 10x10 数组调用它时，x 变为 Inf (我猜它超出了机器数量限制)。除了更改无限范数和 6 位小数精度(我必须使用这两个，因为我的导师告诉我如此)之外，我还能做些什么来防止这种情况发生吗？

在我使用的数组(给我的)中，对角线之外的条目是-1，对角线上的条目是3。 b 就像这样 b=[2;1;1;1;1;1;1;1;1;2] (对于 n=10)

Answer 1

您的高斯-赛德尔方法的条件不正确:

D=diag(diag(A));
L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);
B=(D-L)\U;
R = max(abs(eig(B)));
if R>=1
    fprintf('\nGauss-Seidel''s conditions not met!\n');
    return     
end

R称为迭代矩阵B的谱半径。 Gauss-Seidel 收敛必须小于 1。实际上，您的测试用例中的矩阵 A 具有 R=1.8092，因此 Gauss-Seidel 方法不会收敛。

检查这个slide从第 18 页了解更多详细信息。

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根据@LutzL的评论，您可以使用Gershgorin circle theorem估计特征值而不是用计算成本来计算它们。