matlab - 关于使用 matlab fft 的数学示例的额外说明

Question

有人可以解释为什么 fft 的结果需要除以采样点数(信号长度)吗？

示例可以在此页面找到:https://fr.mathworks.com/help/matlab/ref/fft.html

Fs = 1000;            % Sampling frequency                    
T = 1/Fs;             % Sampling period       
L = 1500;             % Length of signal
t = (0:L-1)*T;        % Time vector

S = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t);
Y = fft(S);

P2 = abs(Y/L);

P1 = P2(1:L/2+1);

为什么他们包含这个操作:P2 = abs(Y/L);？

他们对链接中的每个示例都执行此操作。

此外，如果他们必须在每次 fft 计算后执行该操作，为什么他们不直接将该操作包含在内置 fft 函数中？在某些情况下，最好不要执行额外的操作吗？

谢谢!

Answer 1

从 DFT 及其逆的定义(来自维基百科)可以看出:

DFT 与其逆矩阵之间的区别在于指数中的符号和归一化项 1/N 。但请注意，这个1/N在哪里并不重要。放置后，可以将其放入正向变换中，并且仍会保留 IDFT(DFT(f))==f 。事实上，有些人通过输入 1/sqrt(N) 来使这些对称。在两个转换之前。

它通常放在逆变换前面的原因是你可以做类似 IDFT(DFT(f)DFT(g)) == f*g 的事情(使用 * 卷积)。如果 DFT 有 1/N归一化项，然后通过频域计算卷积需要一个额外的操作。所以这很方便。

但是当使用 DFT 来检查信号功率等时，人们可能希望将这种归一化添加到正向变换中。 DFT 产生的值取决于信号强度及其长度。标准化消除了对长度的依赖。例如:

>> fft(ones(1,4))
ans =
   4   0   0   0

>> fft(ones(1,8))
ans =
   8   0   0   0   0   0   0   0

但添加了标准化:

>> fft(ones(1,4))/4
ans =
   1   0   0   0

>> fft(ones(1,8))/8
ans =
   1   0   0   0   0   0   0   0