pandas - 使用 svd 求解欠定 scipy.sparse 矩阵

Question

问题

我有一组方程，其中的变量用小写变量表示，常量用大写变量表示

A = a + b  
B = c + d  
C = a + b + c + d + e  

我在 pandas DataFrame 中获得了有关这些方程结构的信息，其中包含两列:常量和变量

例如

df = pd.DataFrame([['A','a'],['A','b'],['B','c'],['B','d'],['C','a'],['C','b'], 
['C','c'],['C','d'],['C','e']],columns=['Constants','Variables'])

然后我使用 NetworkX 将其转换为稀疏 CSC 矩阵

table = nx.bipartite.biadjacency_matrix(nx.from_pandas_dataframe(df,'Constants','Variables')  
,df.Constants.unique(),df.Variables.unique(),format='csc')

转换为稠密矩阵时，表格如下所示

矩阵([[1, 1, 0, 0, 0],[0, 0, 1, 1, 0],[1, 1, 1, 1, 1]], dtype=int64)

我想要的是找到哪些变量是可解的(在这个例子中，只有e是可解的)，对于每个可解的变量，它的值取决于什么常量(在这种情况下，由于e = C-B-A，它依赖于A， B 和 C)

尝试解决方案

我首先尝试使用 rref 来求解可解变量。我使用了符号库 sympy 和函数 sympy.Matrix.rref，这正是我想要的，因为任何可解变量都会有自己的行，其中几乎全是零和 1 个一，我可以逐行检查。

但是，这个解决方案并不稳定。首先，它非常慢，并且没有利用我的数据集可能非常稀疏的事实。此外， rref 对于浮点的处理不太好。因此，我决定转向由 Removing unsolvable equations from an underdetermined system 插入的另一种方法。 ，建议使用 svd

方便的是，scipy.sparse库中有一个svd函数，即scipy.sparse.linalg.svds。然而，由于我缺乏线性代数背景，我不明白在我的 table 上运行这个函数所输出的结果，或者如何使用这些结果来获得我想要的结果。

问题的更多详细信息

1. 我的问题中每个变量的系数都是 1。这就是前面显示的两列 pandas DataFrame 中数据的表达方式
2. 我的实际例子中的绝大多数变量都是不可解的。目标是找到少数可解决的问题
3. 如果替代方法符合此问题的限制，我非常愿意尝试它。

这是我第一次发布问题，因此，如果这不完全遵循准则，我深表歉意。请留下建设性的批评，但要温和!

Answer 1

您正在求解的系统具有以下形式

[ 1 1 0 0 0 ] [a]   [A]
[ 0 0 1 1 0 ] [b] = [B]
[ 1 1 1 1 1 ] [c]   [C]
              [d]
              [e]

即五个变量的三个方程 a, b, c, d, e 。正如您的问题中提到的答案所提到的，人们可以使用 pseudoinverse 来解决这种不确定的系统。 ，Numpy 直接根据 pinv 提供功能。

自 M具有线性独立的行，在这种情况下，伪逆具有 M.pinv(M) = I 的属性，其中I表示单位矩阵(在本例中为 3x3)。因此，正式地，我们可以将解决方案写为:

v = pinv(M) . b

哪里v是 5 分量解向量，并且 b表示右侧 3 分量向量 [A, B, C] 。然而，这个解决方案并不是唯一的，因为可以添加来自所谓的内核或 null space 的向量。矩阵 M (即，一个向量 w ，其中 M.w=0 )，它仍然是一个解决方案:

M.(v + w) = M.v + M.w = b + 0 = b

因此，唯一有唯一解的变量是那些来自 M 零空间的所有可能向量的相应分量的变量。为零。换句话说，如果将零空间的基组装成一个矩阵(每列一个基向量)，那么“可解变量”将对应于该矩阵的零行(列的任何线性组合的相应分量将那么也为零)。

让我们将其应用到您的特定示例中:

import numpy as np
from numpy.linalg import pinv

M = [
    [1, 1, 0, 0, 0],
    [0, 0, 1, 1, 0],
    [1, 1, 1, 1, 1]
]

print(pinv(M))

[[ 5.00000000e-01 -2.01966890e-16  1.54302378e-16]
 [ 5.00000000e-01  1.48779676e-16 -2.10806254e-16]
 [-8.76351626e-17  5.00000000e-01  8.66819360e-17]
 [-2.60659800e-17  5.00000000e-01  3.43000417e-17]
 [-1.00000000e+00 -1.00000000e+00  1.00000000e+00]]

从这个伪逆中，我们看到变量 e (最后一行)确实可以表示为 - A - B + C 。然而，它也“预测”a=A/2和b=A/2 。为了消除这些非唯一解(例如 a=A 和 b=0 同样有效)，让我们借用 SciPy Cookbook 中的函数来计算零空间。 :

print(nullspace(M))

[[ 5.00000000e-01 -5.00000000e-01]
 [-5.00000000e-01  5.00000000e-01]
 [-5.00000000e-01 -5.00000000e-01]
 [ 5.00000000e-01  5.00000000e-01]
 [-1.77302319e-16  2.22044605e-16]]

该函数已经返回组装成矩阵的零空间的基础(每列一个向量)，我们看到，在合理的精度内，唯一的零行确实只是与变量 e 对应的最后一行。 .

编辑:

对于方程组

A = a + b, B = b + c, C = a + c

对应的矩阵M是

[ 1 1 0 ]
[ 0 1 1 ]
[ 1 0 1 ]

在这里我们看到矩阵实际上是方阵，并且是可逆的(行列式是 2 )。因此，伪逆与“正常”逆一致:

[[ 0.5 -0.5  0.5]
 [ 0.5  0.5 -0.5]
 [-0.5  0.5  0.5]]

对应于解决方案a = (A - B + C)/2, ... 。自 M是可逆的，它的内核/零空间是空的，这就是 Cookbook 函数仅返回 [] 的原因。为了了解这一点，让我们使用内核的定义 - 它由所有非零向量 x 组成。这样M.x = 0 。然而，自从 M^{-1}存在，x给出为 x = M^{-1} . 0 = 0这是一个矛盾。从形式上来说，这意味着找到的解决方案是唯一的(或者所有变量都是“可解的”)。