geometry - 多边形 "sleeves"是如何调用的以及它们是如何计算的？

Question

当多边形旋转时，它会跳过当前情况和所需情况之间的所有可能的旋转。这里有 3 张图片说明了我的意思:

这是当前的多边形:

将其旋转 45 度(顺时针方向)将导致:

当前多边形顺时针方向旋转 45 度，其间所有可能的情况都会导致:

这些“ socket ”(介于两种情况之间)实际上是如何调用的，以及如何根据当前多边形和所需的旋转角度计算/近似这些“完整多边形”？

Answer 1

在 CAD 行业中，我们将此操作称为 2d 扫描，或 2d 平面扫描；在本例中为二维平面旋转扫描。 (不要与 sweep line algorithm 混淆。)生成的区域将是 2d 扫描区域或 2d 扫描面，轮廓称为 2d 扫描边界。

可以在这里找到有关该主题的几篇论文:

• Polygonal boundary approximation for a 2D general sweep based on envelope and boolean operations (2000) ( another link 和 direct PDF Link 。)

• Approximate General Sweep Boundary of a 2D Curved Object (1993) .

您的二维旋转扫描案例并不像这些论文中考虑的案例那么普遍。如果您只考虑扫描一条曲线(例如一条直线或一条圆弧)，那么 2d 中扫描区域的边界曲线将如下所示。想象一下在 3d 中扫描曲线，其中曲线在绕轴旋转时同时沿旋转轴挤压。在这种情况下，2d 扫描的边界将是投影回 2d 的 3d 扫描曲面的边界加上 3d silhouettes扫描表面的投影回二维，将旋转轴作为轮廓创建的 View 向量。

计算一般曲面的轮廓并不简单，但对于旋转扫描 + 沿旋转轴的挤压，轮廓将通过扫描曲线的切线平行于旋转方向(即垂直)的点描绘出来为从旋转中心绘制的半径矢量。因此，计算二维面积的算法可能如下所示:

1. 对于要旋转扫掠的区域的每个边缘段，

2. 在切线与旋转方向平行的位置分割边。

3. 排除任何退化曲线 - 与旋转轴同轴的弧。

4. 对于每个分割边线段，形成一个由曲线的起始位置、曲线的结束位置以及由圆弧连接的起点和终点组成的二维区域。由于我们在轮廓点处分割，因此不应存在自交点。

5. 做一个2d boolean二维区域的开始位置、结束位置以及在第一步中创建的扫描区域。