geometry - 划分单位球体

Question

我想制作一个单位向量的查找表。每个单位向量将映射到该表中的一个容器，并且该容器将包含具有相似方向的一小组向量的一些信息。

我可以很容易地使用 ($\theta$, $\phi$, 1) 表示一个向量，然后将角度范围分成容器以制作 2D 查找表(因此第一个容器是 0 范围内的 theta到 $2*\pi/N$，其中 N 是我想要的 theta 方向的 bin 数量)。这样做的问题是，我认为某些箱将比其他箱代表单位球体表面上更大的区域，并且我希望获得大致相同大小的区域。

我认为均匀划分角度范围会使某些垃圾箱比其他垃圾箱更大，这是错误的吗？如果没有，有人知道制作这个查找表的更好方法吗？

我发现了一些论文和演示文稿，例如 this one ，但我不会撒谎，我不明白它(我听说过勒贝格测度，但如果我知道它意味着什么，那我就该死了)，而且它看起来也不是特别有希望。

Answer 1

如果将经度拆分为 N那么，为了在单位球体上获得相等面积的域，您必须沿着纬度维度拥有“不均匀”的段。area of the spherical segment两条恒定纬度线(平行线)之间的距离仅取决于“高度”，即线段到垂直轴的投影长度。这意味着，如果您将垂直轴分成相等长度的部分，那么您将把球体分成相等面积的域。

底线是:以下N*M域具有相等的面积:

• 2*k*pi/N < longitute < 2*(k+1)pi/N , k=0...N-1
• -1 + 2*j/M < sin(latitude) < -1 + 2*(j+1)/M , j=0...M-1