math - 在给定法向量的 3D 空间中的 2D 磁盘上生成随机点

Question

是否有一种简单有效的方法可以在 3 维空间“悬挂”的圆盘上生成随机(均匀分布)的点？磁盘由其法线定义。

理想情况下，我想避免旋转矩阵，因为我不完全理解它们，而且我知道它们有问题。

到目前为止，我已经尝试生成一个 3D 单位矢量并将其投影到圆盘的平面上，这确实确保该点位于圆盘内，但不是均匀分布的。 我还尝试根据其长度的某个函数缩放生成的向量，但无论如何我都无法得到均匀分布。

我有一个想法，涉及创建 2 个垂直于彼此和法线的向量，以定义局部坐标系。然后我可以像在 2D 中一样在单位圆盘上生成一个点，并将结果转换回全局坐标系。这似乎非常有效，因为它涉及一些预计算(我完全可以接受)并且之后只进行简单的计算(这是针对光线追踪器的，所以它会经常发生)。问题是，我不知道如何可靠地计算局部坐标系的基向量，同时避免共线性等可能出现的问题。

非常感谢任何帮助。

Answer 1

计算法线 n = (a,b,c) 的平面的正交基向量 u, v 的一种简单方法是找到具有最小绝对值的分量，并使 u 与该分量正交；剩下的差不多了。例如，如果第一个分量是绝对值最小的分量，您可以选择这些基向量:

u = (0, -c, b)                //  n·u = -bc+cb = 0

v = (b²+c², -ab, -ac)         //  n·v = ab²+ac²-ab²-ac² = 0, u·v = abc-abc = 0