logic - 使用 Z3py 对 horn 子句进行不变归纳

Question

我目前正在使用 Z3py 来推导一些不变量，这些不变量被编码为 horn-clauses 的结合，同时还为不变量提供模板。如果您看到下面的代码片段，我首先从一个简单的示例开始。

x = 0;
while(x < 5){
  x += 1
}
assert(x == 5)

这转化为喇叭子句

x = 0 => Inv(x)

x < 5/\Inv(x) => Inv(x +1)

不是( x < 5)/\Inv(x) => x = 5

这里的不变量是 x <= 5。

我已经为 a*x + b <= c 形式的不变量提供了一个模板因此求解器所要做的就是猜测一组可以减少到 x <= 5 的 a、b 和 c 的值。

但是，当我对其进行编码时，我总是感到不满意。如果尝试断言 Not (x==5) 我得到 a=2 、 b = 1/8 和 c = 2 作为反例对我来说意义不大。

我在下面提供了我的代码，对于纠正我的编码的任何帮助，我将不胜感激。

x = Real('x')
x_2 = Real('x_2')
a = Real('a')
b = Real('b')
c = Real('c')
s = Solver()
s.add(ForAll([x],And(
Implies(x == 0 , a*x + b <= c),
Implies(And(x_2 == x + 1, x < 5, a*x + b <= c), a*x_2 + b <= c),
Implies(And(a*x + b <= c, Not(x < 5)), x==5)
)))
if (s.check() == sat):
    print(s.model())

编辑:这对我来说变得陌生了。如果我删除 x_2 定义并在第二个 horn 子句中将 x_2 替换为 (x + 1) 并删除 x_2 = x_2 + 1，无论我写 Not( x==5) 还是 x==5 我都会感到不满意在最后的号角子句中。

Answer 1

有两件事阻止了您的原始编码工作:

1) 不可能满足x_2 == x + 1对于所有 x对于 x_2 的单个值.因此，如果你要写 x_2 == x + 1 , 两者 x和 x_2需要普遍量化。

2) 有点令人惊讶的是，这个问题在整数中是可满足的，但在实数中却不是。您可以看到子句 x < 5 /\ Inv(x) => Inv(x + 1) 的问题.如果x是整数，则 x <= 5 满足.但是，如果 x允许是任何实际值，那么你可以有 x == 4.5 , 满足 x < 5和 x <= 5 , 但不是 x + 1 <= 5 , 所以 Inv(x) = (x <= 5)在现实中不满足这个问题。

此外，您可能会发现定义 Inv(x) 很有帮助，它清理了很多代码。以下是这些更改对您的问题的编码:

from z3 import *

# Changing these from 'Int' to 'Real' changes the problem from sat to unsat.
x = Int('x')
x_2 = Int('x_2')
a = Int('a')
b = Int('b')
c = Int('c')

def Inv(x):
    return a*x + b <= c

s = Solver()

# I think this is the simplest encoding for your problem.
clause1 = Implies(x == 0 , Inv(x))
clause2 = Implies(And(x < 5, Inv(x)), Inv(x + 1))
clause3 = Implies(And(Inv(x), Not(x < 5)), x == 5)
s.add(ForAll([x], And(clause1, clause2, clause3)))

# Alternatively, if clause2 is specified with x_2, then x_2 needs to be
# universally quantified.  Note the ForAll([x, x_2]...
#clause2 = Implies(And(x_2 == x + 1, x < 5, Inv(x)), Inv(x_2))
#s.add(ForAll([x, x_2], And(clause1, clause2, clause3)))

# Print result all the time, to avoid confusing unknown with unsat.
result = s.check()
print result
if (result == sat):
    print(s.model())

还有一件事:写a*x + b <= c对我来说有点奇怪作为模板，因为这与 a*x <= d 相同对于某个整数 d .