c# - 二维弹性碰撞不守恒动量

Question

我有一个小型物理程序，其中包含大量大小和质量相同的球，这些球在 2D 空间中弹跳。我遇到的问题是，在大多数碰撞之后，动量会增加，但有时会减少。

public static void Collide(Ball b1, Ball b2)
{
  Vector2 dist = b2.Position - b1.Position;
  float distance = dist.Length();
  Vector2 normal = dist * (1 / distance); //get collision normal
  float dotprod = Vector2.Dot(normal, b1.Velocity - b2.Velocity);
  Vector2 impulse = normal * dotprod; //compute the impulse in the direction of our normal
  //ball positions at collision: (.7071, 0.2929); (1,0)
  //initial velocities: (2, 0); (0, 0) : total momentum = 2
  b1.Velocity -= impulse;
  b2.Velocity += impulse;
  //new velocities: (1,1); (1, -1) : total momentum = ~2.828
}

这是我简化后的碰撞算法，因为所有球的大小和质量都相同。我尝试了几种不同的算法，它们都产生了相同的结果。在一个有 100 个球的系统中，当我从 1 个动量为 10 的球(弹性壁，无摩擦)开始时，系统的总动量上升到大约 90 并趋于平稳。根据我尝试过的算法数量，似乎这就是它应该的工作方式，但这似乎违反了动量守恒？

我尝试过的一些算法: http://www.vobarian.com/collisions/2dcollisions2.pdf (来自维基百科)和 Ball to Ball Collision - Detection and Handling

Answer 1

您似乎错误地将单个动量的大小之和误认为是总动量本身。质点的动量是一个矢量:

p = m.v

总动量是所有单个动量的向量总和:

P = ∑ m_i.v_i = m ∑ v_i

(在你的情况下所有质量都相等)

动能是一个标量:

K = (1/2) m.v² = p² / (2m)

总动能又是所有单个动能的总和:

K = ∑ (1/2) m_i.v_i² = (m/2) ∑ v_i²

在弹性碰撞中，K 和 P 都守恒。这适用于您的示例。事实上，你的球的初始速度是 (2,0) 和 (0,0)，因此:

P_before = m * ((2,0) + (0,0)) = (2m, 0)

K_before = (m/2) * ((2,0).(2,0) + (0,0).(0,0)) = (m/2) * (4 + 0) = 2m

最终速度为 (1,1) 和 (1,-1)，因此:

P_after = m * ((1,1) + (1,-1)) = (2m, 0)

K_after = (m/2) * ((1,1).(1,1) + (1,-1).(1,-1)) = (m/2) * (2 + 2) = 2m

显然 P_after = P_before 和 K after = K<子>之前 。