math - 投影到 2D 平面以进行重心计算

Question

我有三个顶点组成 3D 空间中的平面/多边形，v0、v1 和 v2。

要计算该平面上 3D 点的重心坐标，我必须首先将平面和点投影到 2D 空间中。

在网上搜索之后，我对如何计算 2D 空间中的重心坐标有了很好的了解，但我一直在寻找将 3D 点投影到合适的 2D 平面的最佳方法。

有人向我建议，实现这一目标的最佳方法是“删除具有最小投影的轴”。如果不测试在每个世界轴(xy，yz，xz)上投影时形成的多边形的面积，我如何确定哪个投影是最好的(具有最大的面积)，因此最适合计算最准确的重心坐标？

Answer 1

按照 OP 的要求计算 3D 空间中的重心坐标的示例。鉴于:

• 定义三角形的 3D 点 v0、v1、v2
• 3D 点 p 位于由 v0、v1 和 v2 定义的平面上，并且位于由相同点组成的三角形内。

“x”表示两个 3D 向量之间的叉积。
“len”表示 3D 矢量的长度。
“u”、“v”、“w”分别是v0、v1、v2的重心坐标。

triArea =   len((v1 - v0) x (v2 - v0)) * 0.5
u =       ( len((v1 - p ) x (v2 - p )) * 0.5 ) / triArea
v =       ( len((v0 - p ) x (v2 - p )) * 0.5 ) / triArea
w =       ( len((v0 - p ) x (v1 - p )) * 0.5 ) / triArea

=> p == u * v0 + v * v1 + w * v2

叉积的定义如下:

v0 x v1 := { v0.y * v1.z - v0.z * v1.y,
             v0.z * v1.x - v0.x * v1.z,
             v0.x * v1.y - v0.y * v1.x }