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我有一个作业,基本上需要创建一个函数,给定两个基础(我将其表示为向量矩阵),它应该返回基础矩阵从一个基础到另一个基础的变化。
到目前为止,这是我根据接下来要解释的算法提出的函数:
function C = cob(A, B)
% Returns C, which is the change of basis matrix from A to B,
% that is, given basis A and B, we represent B in terms of A.
% Assumes that A and B are square matrices
n = size(A, 1);
% Creates a square matrix full of zeros
% of the same size as the number of rows of A.
C = zeros(n);
for i=1:n
C(i, :) = (A\B(:, i))';
end
end
这是我的测试:
clc
clear out
S = eye(3);
B = [1 0 0; 0 1 0; 2 1 1];
D = B;
disp(cob(S, B)); % Returns cob matrix from S to B.
disp(cob(B, D));
disp(cob(S, D));
这是我根据一些笔记使用的算法。基本上,如果我对于某个向量空间有两个基础 B = {b1, ... , bn}
和 D = {d1, ... , dn}
,我想用基础 B
来表示基础 D
,我需要找到基础矩阵 S
的变化。这些碱基的向量之间的关系如下:
(d1 ... dn)^T = S * (b1, ... , bn)^T
或者,通过拆分所有行:
d1 = s11 * b1 + s12 * b2 + ... + s1n * bn
d2 = s21 * b1 + s22 * b2 + ... + s2n * bn
...
dn = sn1 * b1 + sn2 * b2 + ... + snn * bn
请注意,d1
、b1
、d2
、b2
等都是列向量。这可以进一步表示为
d1 = [b1 b2 ... bn] * [s11; s12; ... s1n];
d2 = [b1 b2 ... bn] * [s21; s22; ... s2n];
...
dn = [b1 b2 ... bn] * [sn1; sn2; ... s1n];
我们称矩阵为[b1 b2 ... bn]
,其列是B
、A
的列向量,所以我们有:
d1 = A * [s11; s12; ... s1n];
d2 = A * [s21; s22; ... s2n];
...
dn = A * [sn1; sn2; ... s1n];
请注意,我们现在需要查找的是 i=1...n
和 j=1...n< 的所有条目
。我们可以通过将两边左乘以 sij
/A
的倒数,即 A^(-1)
来实现这一点。
所以,S
可能看起来像这样
S = [s11 s12 ... s1n;
s21 s22 ... s2n;
...
sn1 sn2 ... snn;]
如果这个想法是正确的,那么找到基础矩阵S
从B
到D
的变化就是我正在做的事情代码。
我的想法正确吗?如果不是,有什么问题吗?如果是的话我可以改进吗?
最佳答案
当人们对算法有直观的理解时,事情就会变得容易得多。
这里有两个要点需要理解:
C(B,B)
是单位矩阵(即,不执行任何操作从 B
更改为 B
)C(E,D)C(B,E) = C(B,D)
,将此视为 B -> E -> D = B -> D
1 和 2 的直接推论是
C(E,D)C(D,E) = C(D,D)
,单位矩阵换句话说
C(E,D) = C(D,E)
-1总结。计算矩阵的算法C(B,D)
从 B
更改至D
:
C(B,E) = [b1, ..., bn]
(列向量)C(D,E) = [d1, ..., dn]
(列向量)C(E,D)
作为 C(D,E)
的倒数.C(B,D)
作为产品C(E,D)C(B,E)
.示例
B = {(1,2), (3,4)}
D = {(1,1), (1,-1)}
C(B,E) = | 1 3 |
| 2 4 |
C(D,E) = | 1 1 |
| 1 -1 |
C(E,D) = | .5 .5 |
| .5 -.5 |
C(B,D) = | .5 .5 | | 1 3 | = | 1.5 3.5 |
| .5 -.5 | | 2 4 | | -.5 -.5 |
验证
1.5 d1 + -.5 d2 = 1.5(1,1) + -.5(1,-1) = (1,2) = b1
3.5 d1 + -.5 d2 = 3.5(1,1) + -.5(1,-1) = (3,4) = b2
这表明 C(B,D)
的列实际上是 b1
的坐标和b2
在基地D
.
关于matlab - 在Matlab中计算基矩阵的变化,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/35673559/
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