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我正在尝试 Coq 共感类型。我使用 Coq'Art 书中的惰性列表类型(第 13.1.4 节):
Set Implicit Arguments.
CoInductive LList (A:Set) : Set :=
| LNil : LList A
| LCons : A -> LList A -> LList A.
Implicit Arguments LNil [A].
CoFixpoint LAppend (A:Set) (u v:LList A) : LList A :=
match u with
| LNil => v
| LCons a u' => LCons a (LAppend u' v)
end.
为了匹配保护条件,我还使用了本书中的以下分解函数:
Definition LList_decomp (A:Set) (l:LList A) : LList A :=
match l with
| LNil => LNil
| LCons a l' => LCons a l'
end.
Lemma LList_decompose : forall (A:Set) (l:LList A), l = LList_decomp l.
Proof.
intros.
case l.
simpl.
reflexivity.
intros.
simpl.
reflexivity.
Qed.
LNil
是左中性的引理很容易证明:
Lemma LAppend_LNil : forall (A:Set) (v:LList A), LAppend LNil v = v.
Proof.
intros A v.
rewrite LList_decompose with (l:= LAppend LNil v).
case v.
simpl.
reflexivity.
intros.
simpl.
reflexivity.
Qed.
但我在证明 LNil
也是右中性时陷入了困境:
Lemma LAppend_v_LNil : forall (A:Set) (v:LList A), LAppend v LNil = v.
在亚瑟回答之后,我尝试了新的等式:
Lemma LAppend_v_LNil : forall (A:Set) (v:LList A), LListEq (LAppend v LNil) v.
Proof.
intros.
cofix.
destruct v.
rewrite LAppend_LNil.
apply LNilEq.
我被困住了。 Coq 的答案是:
1 subgoal
A : Set
a : A
v : LList A
LAppend_v_LNil : LListEq (LAppend (LCons a v) LNil) (LCons a v)
______________________________________(1/1)
LListEq (LAppend (LCons a v) LNil) (LCons a v)
在 Eponier 的回答之后,我想通过引入外延性公理来对其进行最后的修饰:
Axiom LList_ext: forall (A:Set)(l1 l2: LList A), (LListEq l1 l2 ) -> l1 = l2.
有了这个公理,我得到了引理的最终剪切:
Lemma LAppend_v_LNil : forall (A:Set) (v:LList A), (LAppend v LNil) = v.
Proof.
intros.
apply LList_ext.
revert v.
cofix.
intros.
destruct v. Guarded. (* now we can safely destruct v *)
- rewrite LAppend_LNil.
constructor.
- rewrite (LList_decompose (LAppend _ _)).
simpl. constructor. apply LAppend_v_LNil.
Qed.
现在,这是我对此主题的最后一个问题:
最佳答案
您猜对了:就像函数一样,Coq 的通用相等概念太弱,无法用于大多数共归纳类型。如果你想证明你的结果,你需要将 eq
替换为列表的共归纳相等概念;例如:
CoInductive LListEq (A:Set) : LList A -> LList A -> Prop :=
| LNilEq : LListEq A LNil LNil
| LConsEq x lst1 lst2 : LListEq A lst1 lst2 ->
LListEq A (LCons x lst1) (LCons x lst2).
操作无限对象是 Coq 中的一个广泛主题。如果您想了解更多信息,Adam Chlipala 的 CPDT 有完整的 chapter关于共感应。
关于coq - 在 Coq 中证明共归纳惰性列表上的相等性,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/39882575/
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