logic - A或B = B或A证明(自然演绎)

Question

这个问题感觉应该比我做的更简单，所以我的最终问题是:有没有更简单的方法来做到这一点？从逻辑上我们知道

A v B = B v A

但在自然演绎中，我们使用 v-Introductions、RAA 等来证明这些等价性。在解决实践问题的过程中，我遇到了需要证明这个交换律的需求，但我发现它非常困难。在我看来，证明将这样开始:

1. A v B            given
2.     ¬(B v A)     assume
3.     ¬B ^ ¬A      2, deMorgan's
4.     ¬A           3, ^-elimination
5.     ¬B           3, ^-elimination
6.     ¬A ^ ¬B      4, 5, ^-I
7.     ¬(A v B)     6, deMorgan's
?. B v A            2, 7 RAA

现在我们发现自己处于必须证明德摩根的立场。 A v B = B v A 是否没有更简单的证明？

Answer 1

您可以创建真实的表格并进行比较

 A    | B     | A v B
true  | true  | true
true  | false | true
false | true  | true
false | false | false


 A    | B     | B v A
true  | true  | true
true  | false | true
false | true  | true
false | false | false

表格相等，表达式相等。