java - 为什么这些额外的代码行会导致 "Towers of Hanoi"的移动次数增加？

Question

我的讲师在测试中向我们提出了以下问题:

“给出以下代码:

int count=0;
static void towersOfhanoi(int n, char source, char target, char spare)
    {    
        count++;
        if (n==1)
            System.out.println("move a disk from "+source+" to "+target);
         else
         {  
            towersOfhanoi(n-1, source, spare, target); 

            System.out.println("move a disk from "+source+" to "+target);

            towersOfhanoi(n-1, spare, target, source); 
            towersOfhanoi(1, spare, source, target); 
            towersOfhanoi(n-1, source, spare, target); 

执行 towersofhanoi(11, A,B,C) 后，移动的值(value)是多少？”

我回家编写了这个程序，移动次数增加了，在我插入这些代码行之前，我将其称为A(使用11个磁盘，产生了118097次移动!):

            towersOfhanoi(n-1, spare, target, source); 
            towersOfhanoi(1, spare, source, target); 
            towersOfhanoi(n-1, source, spare, target); 

在插入这些代码之前，我已将这些代码行放在其位置。我将其称为 B(使用 11 个磁盘，产生 2047 步):

            towersOfhanoi(n-1, spare, target, source); 

我的问题是，A中的3行代码做了什么？为什么步数会变化？是否有计算步数的公式？我知道可以使用 B 使用“(2^11) -1”来计算移动量。任何反馈都会有帮助。

Answer 1

嗯，B 线是汉诺塔问题的正确解决方案。 A 而不是 B 的三行完全按照他们所说的那样:它们使用这些参数递归地调用该函数。第一行与B相同，所以这是正确的。其他两行就问题而言没有意义。你把它们放在那里，所以问题更多了:你为什么这么做？

我猜您想执行以下操作:

   if (n==1) {
        System.out.println("move a disk from "+source+" to "+target);
   } else {
        towersOfhanoi(n-1, source, spare, target); 
        towersOfhanoi(1, source, target, spare); 
        towersOfhanoi(n-1, spare, target, source); 
   }

这将是汉诺塔问题的另一种正确表达，其移动次数与原始 B 相同。

关于公式:如果定义n个圆盘的移动次数为N(n)，则原解的解为移动次数(源码如下):

N(n) = N(n-1) + 1 + N(n-1) 
     = 2 * N(n-1) + 1
     = 2 * (2 * (2 * ... (2 * 1 + 1) ... + 1) + 1) + 1)
     = 2^(n-1) + 2^(n-2) + 2^(n-3) + ... + 1
     = (1 - 2^n) / (1 - 2)
     = 2^n - 1

对 A 代码进行类似的推理:

N(n) = N(n-1) + 1 + N(n-1) + 1 + N(n-1)
     = 3 * N(n-1) + 2
     = 3^(n-1) + 2 * (3^(n-2) + ... + 1)
     = 3^(n-1) + 2 * (1-3^(n-1)) / (1-3)
     = 2 * 3^(n-1) - 1