R:计算和解释逻辑回归中的优势比

Question

我在解释逻辑回归的结果时遇到困难。我的结果变量是 Decision 并且是二进制的(0 或 1，分别不采用或采用产品)。
我的预测变量是 Thoughts，它是连续的，可以是正值，也可以是负值，并且四舍五入到小数点后第二位。
我想知道随着 Thoughts 的变化，获取该产品的概率如何变化。

逻辑回归方程为:

glm(Decision ~ Thoughts, family = binomial, data = data)

根据此模型，想法对决策的概率具有重大影响(b = .72，p = .02)。确定 Decision 的优势比作为 Thoughts 的函数:

exp(coef(results))

优势比 = 2.07。

问题:

1. 如何解释优势比？

   1. 优势比为 2.07 是否意味着想法增加(或减少)0.01 会影响采用(或不采用)产品的几率 0.07 或
   2. 这是否意味着随着 Thoughts 增加(减少)0.01，采用(不采用)产品的几率会增加(减少)大约 2 个单位？

2. 如何将想法的优势比转换为决策的估计概率？
   或者我可以只估计在某个Thoughts分数下Decision的概率(即计算当Thoughts == 1时采取产品的估计概率) )？

Answer 1

r 中逻辑回归返回的系数是 logit，或几率的对数。要将 logits 转换为优势比，您可以对其求幂，就像上面所做的那样。要将 logits 转换为概率，您可以使用函数 exp(logit)/(1+exp(logit))。但是，此过程有一些注意事项。

首先，我将使用一些可重现的数据来说明

library('MASS')
data("menarche")
m<-glm(cbind(Menarche, Total-Menarche) ~ Age, family=binomial, data=menarche)
summary(m)

这将返回:

Call:
glm(formula = cbind(Menarche, Total - Menarche) ~ Age, family = binomial, 
    data = menarche)

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-2.0363  -0.9953  -0.4900   0.7780   1.3675  

Coefficients:
             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept) -21.22639    0.77068  -27.54   <2e-16 ***
Age           1.63197    0.05895   27.68   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

    Null deviance: 3693.884  on 24  degrees of freedom
Residual deviance:   26.703  on 23  degrees of freedom
AIC: 114.76

Number of Fisher Scoring iterations: 4

显示的系数适用于 logits，就像您的示例中一样。如果我们绘制这些数据和该模型，我们会看到 sigmoidal 函数，它是适合二项式数据的逻辑模型的特征

#predict gives the predicted value in terms of logits
plot.dat <- data.frame(prob = menarche$Menarche/menarche$Total,
                       age = menarche$Age,
                       fit = predict(m, menarche))
#convert those logit values to probabilities
plot.dat$fit_prob <- exp(plot.dat$fit)/(1+exp(plot.dat$fit))

library(ggplot2)
ggplot(plot.dat, aes(x=age, y=prob)) + 
  geom_point() +
  geom_line(aes(x=age, y=fit_prob))

请注意，概率的变化不是恒定的 - 曲线首先缓慢上升，然后在中间更快，然后在最后趋于平稳。 10和12之间的概率差异远小于12和14之间的概率差异。这意味着如果不进行概率变换，就不可能用一个数字来概括年龄和概率的关系。

回答您的具体问题:

您如何解释比值比？

截距值的优势比是当 x = 0(即零想法)时“成功”的几率(在您的数据中，这是取乘积的几率)。系数的优​​势比是当您添加一个完整的 x 值(即 x=1；一个想法)时，高于该截距值的优势增加。使用初潮数据:

exp(coef(m))

 (Intercept)          Age 
6.046358e-10 5.113931e+00 

我们可以将此解释为年龄 = 0 时初潮发生的几率为 0.00000000006。或者说，基本上不可能。对年龄系数求幂可以告诉我们每个年龄单位初潮几率的预期增加。在这种情况下，它刚刚增加了五倍多。优势比为 1 表示没有变化，优势比为 2 表示加倍，等等。

优势比为 2.07，意味着“想法”每增加 1 个单位，获得该产品的可能性就会增加 2.07 倍。

如何将想法的优势比转换为估计的决策概率？

您需要对选定的想法值执行此操作，因为正如您在上图中看到的那样，变化在 x 值范围内并不是恒定的。如果您想要思想具有某种值(value)的概率，请按如下方式获取答案:

exp(intercept + coef*THOUGHT_Value)/(1+(exp(intercept+coef*THOUGHT_Value))