r - 无法解释的百分比错误计算法式轮盘估计

Question

我正在做一个类项目:它是关于四种不同的法式轮盘赌(37 个数字)策略的统计评估。前两个非常简单:

• A.一次赌红
• B.投注第一时间

请在下面找到代码:

BettingOnRed <- function(){
  ball <- sample(1:37, 1, replace=TRUE)  
  if(ball <= 18)  amount_won <- 1
  else            amount_won <- -1
  c(amount_won, 1)
}

BettingOnNumber <- function() {
  myNumber <- 17
  ball <- sample(0:36, 1, replace=TRUE)
  if(myNumber == ball)  amount_won <- 35
  else                  amount_won <- -1
  c(amount_won, 1)
}

每个函数返回一个 length = 2 的向量，其中包含赢得的金额和下注的数量(在这两个函数中始终等于 1:此值在其他策略中起作用...)。

即使它们看起来很简单，但如果我们计算预期奖金的百分比误差和每场比赛的获胜比例，我们会在一定程度上出现巨大的错误。请看下表:

为了计算预期值，我设置了一个函数 simulation()，它重复每个游戏 100,000 次并计算您在表中找到的值。

我不明白的是:为什么B的每局胜率误差这么大，而B的胜率误差那么小？

请在此处找到我们用于计算游戏 B 的精确值和百分比误差的公式:

• 令 EstWin 为每场比赛 B 的奖金估计值。
• 令 EstProp 为对游戏 B 获胜比例的估计。

各自的确切值是:

• ExactWin = 1/37*35 - 36/37 = -1/37
• ExactProp = 1/37

百分比误差:

• PercErrorWin = (EstWin - ExactWin)/ExactWin
• PercErrorProp = (EstProp - ExactProp)/ExactProp

你如何解释这个错误？为什么B的错误不一样？我是否遗漏了一个关于概率的重要事实？

在下面找到我的功能“模拟”的负责部分:(作为第一个参数，它接受上面两个函数中的一个)

simulation <- function(f, n = 100000){
  result <- numeric(8)
  winnings <- numeric(n)
  games_won <- numeric(n)
  for (i in 1:n){
    fnct <- f()
    winnings[i]  <- fnct[1]
    games_won[i] <- ifelse(fnct[1] > 0, 1, 0)
  }
  result[1] <- mean(winnings)
  result[2] <- mean(games_won)
  result
}

请注意，这不是全部功能，我只是删除了这个问题不需要的部分。

Answer 1

tl;dr 您的结果似乎是正确的；变化比你想象的要多(下注数字的变化远比红色下注的变化...)

您的模拟有很多方面可以简化，但我认为您的基本框架是正确的。实际上，您唯一缺少的是输出中预期的变化量；如果您对此进行检查，您会发现观察到的和预期之间的偏差确实不足为奇。 (你实际上可以通过分析来计算这个方差，但在这里我将通过蛮力来计算。)

模拟 100 次运行，每次运行 100,000 场比赛。我使用 plyr::raply() 是为了方便(它会自动组合您的结果并实现进度条)，但您也可以使用 replicate()，或使用 for 循环。

set.seed(101)
library(plyr)
rr <- raply(100,simulation(BettingOnNumber,100000),.progress="text")

绘制平均奖金的分布:蓝色 = 预期，红色 = 从您的单一模拟中观察到。

par(las=1,bty="l")
hist(rr[,1],col="gray",breaks=30,
     xlab="mean amount won in 100,000 games",
     ylab="Frequency (100 runs)")
exp_val <- -0.02703
obs_val <- -0.04852
abline(v=c(obs_val,exp_val),col=c("red","blue"),lwd=2)

下面是对这种偏差程度的惊人程度的计算:

mean(abs(rr[,1]-exp_val)>abs(obs_val-exp_val)) ## 0.21

这意味着您会在大约 21% 的时间内获得预期和观察到的偏差程度或更多偏差(这实际上是您结果的频率论 p 值)。

使用“押红”策略尝试这个实验，您将看到方差小了多少......