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正如数百人在我之前尝试过的那样,我正在尝试通过证明极其基本的数学定理来学习伊莎贝尔。这项任务很困难,因为出于某种原因,大多数 Isabelle 教程和书籍都侧重于程序分析(列表、树、递归函数)或基本命题/一阶逻辑,其中的练习很大程度上可以通过 (induct_tac "xs")
来解决。和一些 apply 语句。
然而,通过深入研究现有的伊莎贝尔理论,我已经弄清楚了如何定义某些东西。在本例中,我定义了序列的极限:
theory Exercises
imports Main "Isabelle2019.app/Contents/Resources/Isabelle2019/src/HOL/Rat"
begin
definition limit :: "(nat ⇒ rat) ⇒ rat ⇒ bool"
where limit_def: "limit sequence l = (∃(d::nat). ∀(e::nat)≥d. ∀(ε::rat). abs((sequence d) - l) ≤ ε)"
end
然后我试图证明lim 1/n --> 0
。 (抱歉,Latex 不适用于 Stack Overflow)。
我想到的证明非常简单:给我一个 epsilon
,我将向您展示 d
之后1/d < epsilon
。然而,在执行了几个最基本的步骤后我陷入了困境。我可以获得有关如何完成此证明的提示吗?
lemma limit_simple: "limit (λ (x::nat). (Fract 1 (int x))) (rat 0)"
unfolding limit_def
proof
fix ε::rat
obtain d_rat::rat where d_rat: "(1 / ε) < d_rat" using linordered_field_no_ub by auto
then obtain d_int::int where d_int: "d_int = (⌊d_rat⌋ + 1)" by auto
then obtain d::nat where "d = max(d_int, 0)"
end
从这个证明的第一行就可以看出,我已经在试图说服伊莎贝尔有一个自然数 d
了。大于1/epsilon
对于每一个理性epsilon
...
最佳答案
首先,您对limit
的定义是错误的。您有点混淆了量词顺序。我会这样写:
definition limit :: "(nat ⇒ rat) ⇒ rat ⇒ bool"
where "limit sequence l = (∀ε>0. ∃d. ∀e≥d. ¦sequence e - l¦ ≤ ε)"
然后这是如何证明你想要的东西:
lemma limit_simple: "limit (λ(x::nat). 1 / of_nat x) 0"
unfolding limit_def
proof (intro allI impI)
fix ε :: rat assume "ε > 0"
obtain d_rat::rat where d_rat: "1 / ε < d_rat" using linordered_field_no_ub by auto
define d where "d = nat (⌊d_rat⌋ + 1)"
have "d_rat ≤ of_nat d"
unfolding d_def by linarith
from ‹ε > 0› have "0 < 1 / ε" by simp
also have "1 / ε < d_rat" by fact
also have "d_rat ≤ of_nat d" by fact
finally have "d > 0" by simp
have "d_rat > 0" using ‹1 / ε > 0› and d_rat by linarith
have "∀e≥d. ¦1 / of_nat e - 0¦ ≤ ε"
proof (intro allI impI)
fix e :: nat
assume "d ≤ e"
have "¦1 / rat_of_nat e - 0¦ = 1 / rat_of_nat e" by simp
have "d_rat ≤ rat_of_nat e"
using ‹d ≤ e› and ‹d_rat ≤ of_nat d› by simp
hence "1 / rat_of_nat e ≤ 1 / d_rat"
using ‹d ≤ e› and ‹d > 0› and ‹d_rat > 0›
by (intro divide_left_mono) auto
also have "1 / d_rat < ε"
using ‹ε > 0› and ‹d_rat > 0› and d_rat by (auto simp: field_simps)
finally show "¦1 / rat_of_nat e - 0¦ ≤ ε" by simp
qed
thus "∃d. ∀e≥d. ¦1 / of_nat e - 0¦ ≤ ε"
by auto
qed
对于实数而不是有理数,证明看起来基本相同。它当然可以更加自动化(好吧,如果你导入 Isabelle 的分析库,它可以一步自动证明整个事情)。
在“现实世界”Isabelle 中,限制是通过过滤器来表达的,并且围绕它们有一个大型库。这使得诸如上述的证明陈述变得不再那么乏味。
更新:回复您的评论:是的,这有点长。用惯用的伊莎贝尔语,我会写出这样的证明:
lemma A: "filterlim (λn. 1 / real n) (nhds 0) sequentially"
proof
fix ε :: real assume "ε > 0"
have "∀⇩F n in sequentially. n > nat ⌈1 / ε⌉"
by (rule eventually_gt_at_top)
hence "∀⇩F n in sequentially. real n > 1 / ε"
by eventually_elim (use ‹ε > 0› in linarith)
moreover have "∀⇩F n in sequentially. n > 0"
by (rule eventually_gt_at_top)
ultimately show "∀⇩F n in sequentially. dist (1 / real n) 0 < ε"
by eventually_elim (use ‹ε > 0› in ‹auto simp: field_simps›)
qed
过滤器和持有“最终”属性的概念(这就是 ∀⇩F
语法的含义)非常强大。
更好的是,您可以将上述证明进一步模块化,首先显示 1/x
对于 x
→ 对于实数 x 趋向于 0
,然后证明对于 n
来说,real n
趋向于实数 Infinity → 对于自然 n
来说是 Infinity,然后简单地将这两个结合起来声明:
lemma B: "filterlim (λx::real. 1 / x) (nhds 0) at_top"
proof
fix ε :: real assume "ε > 0"
have "∀⇩F x in at_top. x > 1 / ε"
by (rule eventually_gt_at_top)
thus "∀⇩F (x::real) in at_top. dist (1 / x) 0 < ε"
using eventually_gt_at_top[of 0]
by eventually_elim (use ‹ε > 0› in ‹auto simp: field_simps›)
qed
lemma C: "filterlim real at_top sequentially"
unfolding filterlim_at_top
proof
fix C :: real
have "∀⇩F n in sequentially. n ≥ nat ⌈C⌉"
by (rule eventually_ge_at_top)
thus "∀⇩F n in sequentially. C ≤ real n"
by eventually_elim linarith
qed
lemma D: "filterlim (λn. 1 / real n) (nhds 0) sequentially"
by (rule filterlim_compose[OF B C])
或者,当然,您可以简单地导入 HOL-Real_Asymp.Real_Asymp
,然后所有这些都将使用 by real_asymp
自动完成。 ;)
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