lean - 精益中的依赖类型有界范围

Question

假设我想创建一个边界为 a b 的有界整数 Z。

def zbound (x₁ x₂ : ℤ) :=
  { n : ℤ // x₁ ≤ n ∧ n ≤ x₂ }

这是有界整数的合理表示吗？

现在我想创建从 a 到 b 的数字范围。

def range : ∀(a b : ℤ), list (zbound a b) 
  | fro to := if h : fro < to
              then ⟨fro, and.intro (le_refl _) (int.le_of_lt h)⟩
                   :: range (fro + 1) to
              else []

我可以让它与 range : ℤ → ℤ → list ℤ 一起工作，包括使用 using_well_founded 的终止证明。但是，我发现这种形式不切实际，因为它没有证明范围内的每个数字都是 zbound a b。

因此，我想获得我的依赖版本。但是，我遇到了 range (fro + 1) to 自然属于 list (zbound (fro + 1) to) 类型的问题。我需要的是 list (zbound fro to)。如何解决这个问题？我尝试通过证明如果 x 以 a 为下界，那么它也以小于 a 的每个数字为界来解决这个问题，因此保持 zbound fro to 形式的边界(因为这显然是 zbound (fro + 1) to 的边界)。然而，我不知道如何使用这个想法，或者即使使用它是否有意义。

Answer 1

我不确定这是一个理想的解决方案，但它确实适合我。首先我们需要一个引理来削弱有界范围:

def range_weaken {a b : ℤ} : zbound (a + 1) b → zbound a b
  | ⟨i, ⟨lbound, rbound⟩⟩ :=
    ⟨i, and.intro
          (le_of_add_le_left _ 1 _ dec_trivial lbound)
          rbound⟩

然后我们可以根据弱化范围重新定义范围:

def range : ∀(a b : ℤ), list (zbound a b) 
  | fro to := if h : fro < to
              then ⟨fro, and.intro (le_refl _) h⟩
                   :: list.map range_weaken (range (fro + 1) to)
              else []
  using_well_founded { ... }

注意:我找不到我要找的引理，所以我手工证明了以下内容:

def le_of_add_le_left (a b c : ℤ) : 0 ≤ b → a + b ≤ c → a ≤ c