coq - Coq 中的 Modus Ponens 和 Modus Tollens

Question

我想为这些简单的推理规则制定 Ltac 策略。

在 Modus Ponens 中，如果我有 H:P->Q和 H1:P , Ltac mp H H1将添加 Q上下文为 H2 : Q .

在 Modus Tollens，如果我有 H:P->Q和 H1:~Q ，然后 Ltac mt H H1将添加 H2:~P到上下文。

我已经为 modus ponens 写了一个，但它在先例也是一个含义的复杂情况下不起作用。
Ltac mp H0 H1 :=
let H := fresh "H" in
apply H0 in H1 as H.

编辑:我在另一个看似无关的问题 ( Rewrite hypothesis in Coq, keeping implication ) 中找到了 Modus Ponens 的答案，其中一个“笨拙”版本的 apply由 generalize 制成.
Ltac mp H H0 :=
let H1 := fresh "H" in
generalize (H H0); intros H1.
不过，我仍然会感谢 Modus Tollens 的回答。

Answer 1

这是一种解决方案:

Ltac mt PtoQ notQ notP :=
  match type of PtoQ with
  | ?P -> _ => pose proof ((fun p => notQ (PtoQ p)) : ~ P) as notP
  end.

这种策略要求用户提供两个输入假设和输出假设的明确名称。我用 type of PtoQ构造提取类型 P从输入蕴涵，然后提供一个明确的术语 (fun p => notQ (PtoQ p)类型 P -> False ，这在定义上等于 ~ P .显式类型归属 : ~ P用于使上下文看起来更漂亮，如果没有它，Coq 会将输出假设的类型显示为 P -> False .

顺便说一句，我会使用这样的东西来实现 modus ponens 策略:

Ltac mp PtoQ P Q := 
  pose proof (PtoQ P) as Q.

在这里，再次 PtoQ和 P参数是输入假设的名称和 Q是要添加到上下文的名称。