python - 具有非均匀间隔的 np.arange 或 np.linspace 的替代品

Question

我可以使用numpy的函数np.arange()在[0,2*pi)上获得统一的网格，但是，我想要一个具有相同的网格点的数量，但在一定间隔上具有更高的点密度，即例如在 [pi,1.5*pi] 上具有更精细的网格。我怎样才能实现这一点，是否有一个 numpy 函数接受密度函数并且它的输出是具有该密度的网格？

Answer 1

令我惊讶的是，我在 Stack Overflow 上找不到类似的问答。有一些人正在为 random numbers from a discrete distribution 做类似的事情，但不适用于连续分布，也不适用于修改后的 np.arange 或 np.linspace。

如果您需要获得用于绘图的 x 范围，该范围在您期望函数波动更快的区域中具有更精细的采样，您可以创建一个非线性函数，该函数接受 0 到 1 范围内的输入并以相同的范围生成输出非线性进行的范围。例如:

def f(x):
    return x**2

angles = 2*np.pi*f(np.linspace(0, 1, num, endpoint=False))

这将产生接近零的精细采样和接近 2*pi 的粗采样。为了更细粒度地控制采样密度，您可以使用下面的函数。作为奖励，它还允许随机采样。

import numpy as np

def density_space(xs, ps, n, endpoint=False, order=1, random=False):
    """Draw samples with spacing specified by a density function.

    Copyright Han-Kwang Nienhuys (2020).
    License: any of: CC-BY, CC-BY-SA, BSD, LGPL, GPL.
    Reference: https://stackoverflow.com/a/62740029/6228891
    
    Parameters:
        
    - xs: array, ordered by increasing values.
    - ps: array, corresponding densities (not normalized).
    - n: number of output values.
    - endpoint: whether to include x[-1] in the output.
    - order: interpolation order (1 or 2). Order 2 will
      require dense sampling and a smoothly varying density 
      to work correctly.
    - random: whether to return random samples, ignoring endpoint).
      in this case, n can be a shape tuple.

    Return:
        
    - array, shape (n,), with values from xs[0] to xs[-1]
    """
    from scipy.interpolate import interp1d
    from scipy.integrate import cumtrapz
    
    cps = cumtrapz(ps, xs, initial=0)
    cps *= (1/cps[-1])
    intfunc = interp1d(cps, xs, kind=order)
    if random:
        return intfunc(np.random.uniform(size=n))
    else:
        return intfunc(np.linspace(0, 1, n, endpoint=endpoint))

测试:

values = density_space(
    [0, 100, 101, 200],
    [1, 1, 2, 2],
    n=12, endpoint=True)

print(np.around(values))

[  0.  27.  54.  82. 105. 118. 132. 146. 159. 173. 186. 200.]

累积密度函数是使用梯形积分创建的，梯形积分本质上基于线性插值。高阶积分并不安全，因为输入可能具有(接近)不连续性，例如示例中从 x=100 跳转到 x=101。输入的不连续性会导致累积密度函数(代码中的cps)中的一阶导数不连续，这将导致平滑插值(2 阶或以上)出现问题。因此，建议仅将 order=2 用于平滑密度函数 - 而不是使用任何更高的阶数。