math - 围绕 x,y,z 轴旋转模型，无万向节锁定，输入数据始终为 x,y,z 轴角度旋转

Question

我有一个输入设备，它给了我 3 个角度——围绕 x、y、z 轴旋转。

现在我需要使用这些角度来旋转 3D 空间，而不需要万向节锁定。我以为我可以转换为四元数，但是 apparently since I'm getting the data as 3 angles this won't help ?

如果是这种情况，我该如何正确旋转空间，请记住我的输入数据只是 x、y、z 轴旋转角度，所以我不能只是“避免”它。同样，围绕轴旋转的顺序移动也无济于事——无论如何都会使用所有轴，因此改变顺序不会完成任何事情。但肯定有办法做到这一点吗？

如果有帮助，问题几乎可以简化为实现此功能:

void generateVectorsFromAngles(double &lastXRotation,
                                                      double &lastYRotation,
                                                      double &lastZRotation,
                                                      JD::Vector &up,
                                                      JD::Vector &viewing) {
    JD::Vector yaxis = JD::Vector(0,0,1);
    JD::Vector zaxis = JD::Vector(0,1,0);
    JD::Vector xaxis = JD::Vector(1,0,0);
    up.rotate(xaxis, lastXRotation);
    up.rotate(yaxis, lastYRotation);
    up.rotate(zaxis, lastZRotation);
    viewing.rotate(xaxis, lastXRotation);
    viewing.rotate(yaxis, lastYRotation);
    viewing.rotate(zaxis, lastZRotation);
}

以一种避免万向节锁定的方式。

Answer 1

如果你的设备给你绝对的 X/Y/Z 角度(这意味着类似于实际的万向节)，它会有一些特定的序列来描述旋转发生的顺序。

由于您说“顺序无关紧要”，这表明您的设备类似于(几乎可以肯定？)一个 3 轴速率陀螺仪，并且您得到了微分角。在这种情况下，您希望将 3 个微分角度组合成一个旋转向量，并使用它来更新方向四元数，如下所示:

given differential angles (in radians):
  dXrot, dYrot, dZrot

and current orientation quaternion Q such that:
  {r=0, ijk=rot(v)} = Q {r=0, ijk=v} Q*

construct an update quaternion:
  dQ = {r=1, i=dXrot/2, j=dYrot/2, k=dZrot/2}

and update your orientation:
  Q' = normalize( quaternion_multiply(dQ, Q) )

请注意，dQ 只是单位四元数的粗略近似值(这使得 normalize() 操作比平常更重要)。但是，如果您的微分角不大，则实际上是一个很好的近似值。即使您的微分角很大，这种简单的近似也比您可以做的许多其他事情更没有意义。如果您遇到大微分角的问题，您可以尝试添加二次校正以提高精度(如第三部分所述)。

然而，一个更可能的问题是，任何一种像这样的重复更新都倾向于漂移，如果没有别的原因，仅仅是累积的算术错误。此外，您的物理传感器会有偏差——例如，您的速率陀螺仪会有偏移，如果不进行校正，将导致您的方向估计 Q缓慢进动。如果这种漂移对您的应用程序很重要，那么如果您想维护一个稳定的系统，您将需要某种方法来检测/纠正它。

如果您确实遇到了大微分角的问题，可以使用三角函数公式来计算精确的更新四元数 dQ .假设总旋转角度应该与输入向量的大小成线性比例；鉴于此，您可以按如下方式计算精确的更新四元数:

given differential half-angle vector (in radians):
  dV = (dXrot, dYrot, dZrot)/2

compute the magnitude of the half-angle vector:
  theta = |dV| = 0.5 * sqrt(dXrot^2 + dYrot^2 + dZrot^2)

then the update quaternion, as used above, is:
  dQ = {r=cos(theta), ijk=dV*sin(theta)/theta}
     = {r=cos(theta), ijk=normalize(dV)*sin(theta)}

注意直接计算任一 sin(theta)/theta或 normalize(dV)是接近零的奇异，但向量的极限值 ijk接近零只是 ijk = dV = (dXrot,dYrot,dZrot) ，如第一部分的近似值。如果您确实以这种方式计算更新四元数，那么直接的方法是检查这一点，并使用小 theta 的近似值。 (这是一个非常好的近似值!)。

最后，另一种方法是对 cos(theta) 使用泰勒展开式。和 sin(theta)/theta .这是一种中间方法 - 一种改进的近似方法，可增加准确度范围:

cos(x)    ~  1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 ...
sin(x)/x  ~  1 - x^2/6 + x^4/120 - x^6/5040 ...

所以，第一节提到的“二次修正”就是:

dQ = {r=1-theta*theta*(1.0/2), ijk=dV*(1-theta*theta*(1.0/6))}
Q' = normalize( quaternion_multiply(dQ, Q) )

附加项将扩展近似值的准确范围，但如果每次更新需要超过 +/-90 度，您可能应该使用第二部分中描述的精确触发函数。您还可以将泰勒展开式与精确三角解法结合使用——它可以让您在近似公式和精确公式之间无缝切换，这可能会有所帮助。