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在 recursion-schemes
包定义了以下类型:
newtype Fix f = Fix (f (Fix f))
newtype Mu f = Mu (forall a. (f a -> a) -> a)
最佳答案
Are they isomorphic?
If so, how do you prove it?
muToFix :: Mu f -> Fix f
muToFix (Mu s) = s Fix
fixToMu :: Functor f => Fix f -> Mu f
fixToMu t = Mu (\alg -> cata alg t)
muToFix . fixToMu = id
fixToMu . muToFix = id
Fix
然后回来
muToFix (fixToMu t) = t
muToFix (fixToMu t) -- LHS
muToFix (Mu (\f -> cata f t))
(\f -> cata f t) Fix
cata Fix t -- See below.
t -- LHS = RHS
cata Fix t = t
,可以通过
cata
的定义来验证:
cata :: Functor f => (f a -> a) -> Fix f -> a
cata alg = alg . fmap (cata alg) . unfix
cata Fix t
,那么,是
Fix (fmap (cata Fix) (unfix t))
.我们可以用归纳法证明它一定是
t
,至少对于有限
t
(无限结构会变得更加微妙 - 请参阅本答案末尾的附录)。有两种可能需要考虑:
unfix t :: f (Fix f)
是空的,没有可挖掘的递归位置。在这种情况下,它必须等于 fmap absurd z
一些 z :: f Void
, 因此:cata Fix t
Fix (fmap (cata Fix) (unfix t))
Fix (fmap (cata Fix) (fmap absurd z))
Fix (fmap (cata Fix . absurd) z)
-- fmap doesn't do anything on an empty structure.
Fix (fmap absurd z)
Fix (unfix t)
t
unfix t
不是空的。那样的话,我们至少知道fmap (cata Fix)
除了申请之外什么也做不了cata Fix
在递归位置上。这里的归纳假设是,这样做将使这些位置保持不变。然后我们有:cata Fix t
Fix (fmap (cata Fix) (unfix t))
Fix (unfix t) -- Induction hypothesis.
t
cata Fix = id
是
Fix :: f (Fix f) -> Fix x
是初始 F 代数的推论。直接诉诸这个事实
Mu
然后回来
muToFix . fixToMu = id
,证明
fixToMu . muToFix = id
足以证明:
muToFix
是单射的,或 fixToMu
是满射的。 newtype Mu f = Mu (forall a. (f a -> a) -> a)
fixToMu :: Functor f => Fix f -> Mu f
fixToMu t = Mu (\alg -> cata alg t)
fixToMu
那么,作为满射,意味着,给定任何特定的
Functor
f
, 类型
forall a. (f a -> a) -> a
的所有函数可以定义为
\alg -> cata alg t
,对于某些特定的
t :: Fix f
.然后,任务变成对
forall a. (f a -> a) -> a
进行编目。函数,看看是否所有的函数都可以用那种形式表达。
forall a. (f a -> a) -> a
功能不依赖
fixToMu
?无论如何,它必须涉及使用
f a -> a
代数作为参数提供以获得
a
结果。直接的途径是将它应用到一些
f a
值(value)。一个主要的警告是,因为
a
是多态的,我们必须能够变出说
f a
任何选择的值(value)
a
.只要
f
,这是一个可行的策略- 值恰好存在。在这种情况下,我们可以这样做:
fromEmpty :: Functor f => f Void -> forall a. (f a -> a) -> a
fromEmpty z = \alg -> alg (fmap absurd z)
forall a. (f a -> a) -> a
的事物定义一个类型。职能:
data Moo f = Empty (f Void)
fromMoo :: Functor f => Moo f -> forall a. (f a -> a) -> a
fromMoo (Empty z) = \alg -> alg (fmap absurd z)
f
是
Functor
,如果我们有一个
f (Moo f)
我们可以两次应用代数,第一次应用在外
f
下层,通过
fmap
和
fromMoo
:
fromLayered :: Functor f => f (Moo f) -> forall a. (f a -> a) -> a
fromLayered u = \alg -> alg (fmap (\moo -> fromMoo moo alg) u)
forall a. (f a -> a) -> a
出
f (Moo f)
值,将它们添加为
Moo
的情况是有意义的。 :
data Moo f = Empty (f Void) | Layered (f (Moo f))
fromLayered
可以合并到
fromMoo
:
fromMoo :: Functor f => Moo f -> forall a. (f a -> a) -> a
fromMoo = \case
Empty z -> \alg -> alg (fmap absurd z)
Layered u -> \alg -> alg (fmap (\moo -> fromMoo moo alg) u)
alg
转移了。下一个
f
递归应用层
alg
下任意数量
f
层。
f Void
值可以注入(inject)
Layered
构造函数:
emptyLayered :: Functor f => f Void -> Moo f
emptyLayered z = Layered (fmap absurd z)
Empty
构造函数:
newtype Moo f = Moo (f (Moo f))
unMoo :: Moo f -> f (Moo f)
unMoo (Moo u) = u
Empty
呢?案例在
fromMoo
?两种情况的唯一区别在于,在
Empty
案例,我们有
absurd
而不是
\moo -> fromMoo moo alg
.自所有
Void -> a
功能是
absurd
,我们不需要单独的
Empty
如果有:
fromMoo :: Functor f => Moo f -> forall a. (f a -> a) -> a
fromMoo (Moo u) = \alg -> alg (fmap (\moo -> fromMoo moo alg) u)
fromMoo
参数,因此我们不需要将参数写入
fmap
作为一个 lambda:
foldMoo :: Functor f => (f a -> a) -> Moo f -> a
foldMoo alg (Moo u) = alg (fmap (foldMoo alg) u)
foldMoo :: Functor f => (f a -> a) -> Moo f -> a
foldMoo alg = alg . fmap (foldMoo alg) . unMoo
newtype Fix f = Fix (f (Fix f))
unfix :: Fix f -> f (Fix f)
unfix (Fix u) = u
cata :: Functor f => (f a -> a) -> Fix f -> a
cata alg = alg . fmap (cata alg) . unfix
fromFix :: Functor f => Fix f -> forall a. (f a -> a) -> a
fromFix t = \alg -> cata alg t
forall a. (f a -> a) -> a
函数的形式为
\alg -> cata alg t
一些
t :: Fix f
.因此,
fixToMu
是满射的,我们有所需的同构。
cata Fix t = t
中归纳论证的适用性提出了一个密切相关的问题。推导。至少,仿函数定律和参数性确保
fmap (cata Fix)
不会产生额外的工作(例如,它不会扩大结构,或引入额外的递归位置来挖掘),这证明了为什么在推导的归纳步骤中进入递归位置是最重要的。既然如此,如果
t
是一个有限结构,空
f (Fix t)
的基本情况最终会到达,一切都清楚了。如果我们允许
t
然而,要成为无限,我们可以继续无休止地下降,
fmap
之后
fmap
之后
fmap
,从未达到基本情况。
GHCi> :info ListF
data ListF a b = Nil | Cons a b
-- etc.
GHCi> ones = Fix (Cons 1 ones)
GHCi> (\(Fix (Cons a _)) -> a) (cata Fix ones)
1
GHCi> (\(Fix (Cons _ (Fix (Cons a _)))) -> a) (cata Fix ones)
1
ListF
中获得有用的结果。功能上下文。需要重申的是,此类上下文不受
fmap
的影响。 ,因此我们可能消耗的结构的任何有限段都不会受到
cata Fix
的影响。 .
Mu
,
Fix
和
Nu
.不偷懒,
Fix
不足以编码高效的核心递归,因此我们必须切换到
Nu
,最大不动点。这是差异的一个小示范:
GHCi> :set -XBangPatterns
GHCi> -- Like ListF, but strict in the recursive position.
GHCi> data SListF a b = SNil | SCons a !b deriving Functor
GHCi> ones = Nu (\() -> SCons 1 ()) ()
GHCi> (\(Nu c a) -> (\(SCons a _) -> a) (c a)) ones
1
GHCi> ones' = Fix (SCons 1 ones')
GHCi> (\(Fix (SCons a _)) -> a) ones'
^CInterrupted.
关于haskell - Fix 和 Mu 同构,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/61083423/
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