julia - 如何在 Julia 中测试特定数字有效数字的近似相等

Question

Julia 中的 isapprox() 函数用于测试两个数字或数组是否近似相等。我希望能够测试任何所需数量的有效数字的近似相等性。正如下面的代码示例所示，近似值的公差要么以绝对值给出，要么以相对(百分比)偏差给出。

# Syntax
isapprox(a, b; atol = <absolute tolerance>, rtol = <relative tolerance>)

# Examples
# Absolute tolerance
julia> isapprox(10.0,9.9; atol = 0.1) # Tolerance of 0.1
true

# Relative tolerance
julia> isapprox(11.5,10.5; rtol = 0.1) # Rel. tolerance of 10%
true

julia> isapprox(11.4,10.5; rtol = 0.01) # Rel. tolerance of 1%
false

julia> isapprox(98.5, 99.4; rtol = 0.01) # Rel. tolerance of 1%
true

我在某个论坛上读到，设置rtol = 1e-n，其中n是有效数字的数量，将比较有效数字。 (不幸的是，我无法再次找到它。)无论如何，正如示例所示，这显然不是真的。

鉴于我们在这种情况下希望用两个有效数字近似相等，11.4 和 10.5 都近似等于 11。但是，两者之间的相对差异大于 1%，返回近似值 false。但是，对于任何大于 90 的数字，近似值为 true。将相对容差增加十倍到 10% 将导致灵敏度过低，如代码所示。

是否有一个参数/值/公式，我可以为 isapprox() 设置 rtol 来为任何所需数量的有效值正确返回 true数字？

Answer 1

简单的回答是否，rtol没有固定值，您可以选择保证isapprox(x, y; rtol=rtol) 将值 x 和 y 与一定数量的有效数字进行比较。这是因为how isapprox is implemented :rtol 是相对于 norm(x) 和 norm(y) 的最大值计算的。您必须为要比较的每对 x 和 y 计算不同的 rtol。

您所要求的似乎是一种将x和y的值四舍五入与一定数量的有效值进行比较的方法数字(以 10 为基数)。 round方法有一个可能有用的关键字sigdigits:

isapproxsigfigs(a, b, precision) = round(a, sigdigits=precision) == round(b, sigdigits=precision)

isapproxsigfigs(10, 9.9, 1)  # true,  10 == 10
isapproxsigfigs(10, 9.9, 2)  # false, 10 != 9.9

isapproxsigfigs(11.4, 10.5, 1)  # true,  10 == 10
isapproxsigfigs(11.4, 10.5, 2)  # false, 11 != 10 (remember RoundingMode!)

isapproxsigfigs(11.4, 10.51, 1)  # true,  10 == 10
isapproxsigfigs(11.4, 10.51, 2)  # true,  11 == 11
isapproxsigfigs(11.4, 10.51, 3)  # false, 11.4 != 10.5

对于第二个示例，请记住，如果将平局四舍五入，则 10.5 仅“接近 11”。默认RoundingMode Julia 使用的是 RoundNearest ，四舍五入为偶数。如果您希望将关系向上舍入，请使用 RoundNearestTiesUp :

isapproxsigfigs2(a, b, precision) = 
    round(a, RoundNearestTiesUp, sigdigits=precision) == 
    round(b, RoundNearestTiesUp, sigdigits=precision)

isapproxsigfigs2(11.4, 10.5, 2)  # true, 11 == 11