algorithm - 任意凸多边形中具有固定纵横比的最大对齐矩形？

Question

如何计算任意凸多边形中固定长宽比的最大对齐矩形的宽/高？

此图像显示了不同凸多边形(黑色)中的此类矩形(红色)的示例:

.

我找到了关于主题的不同论文，但它们不符合我的限制。这很奇怪，因为他们应该显着简化算法，但不幸的是我没有找到任何线索。

Answer 1

固定比率确实简化了问题，因为现在有一个线性程序。

你想找到 x1, y1, x2, y2 以最大化 x2 − x1 服从 (x2 − x1) h = w (y2 − y1) 的约束，其中宽高比为 w:h，并且对于每个线性定义凸多边形的不等式，(x1, y1), (x1, y2), (x2, y1), (x2, y2)各点满足。

例如，考虑这个凸多边形:

四点矩形的线性规划 (x_1, y_1), (x_1, y_2), (x_2, y_2) , (x_2, y_1), 纵横比 r = w/h 和上面的多边形内接如下:

理论上，存在针对线性时间运行的低维线性规划的专门算法。在实践中，你可以向它扔一个求解器。如果您想自己编写代码，那么您可以使用单纯形法，但梯度下降更简单。

首先，让我们通过在变量 x、y、z 上最大化 z 来摆脱等式约束和变量，并遵守多边形中的点约束 x1 = (x − w z)，y1 = (y − h z)， x2 = (x + w z), y2 = (y + h z)。其次，让我们用这些约束换取一个客观术语。通常，多边形中的点约束看起来像(到半平面的有符号距离)≤ 0。相反，我们将对目标应用惩罚项。设 α > 0 为参数。新项是 −exp(α(到半平面的符号距离))。如果带符号的距离为负(该点在半平面内)，则随着 α 趋于无穷大，惩罚将趋于零。如果符号距离为正，则惩罚变为负无穷大。如果我们使α足够大，那么转化后的问题的最优解将是近似可行的。

这就是它在 Python 中的样子。我不是持续优化专家，所以买者自负。

# Aspect ratio.
w = 3
h = 2

# Represented as intersection of half-spaces a*x + b*y - c <= 0 given below as
# (a, b, c). For robustness, these should be scaled so that a**2 + b**2 == 1,
# but it's not strictly necessary.
polygon = [(1, 1, 20), (1, -2, 30), (-2, 1, 40)]

# Initial solution -- take the centroid of three hull points. Cheat by just
# using (0, 0) here.
x, y, z = (0, 0, 0)

from math import exp

# Play with these.
alpha = 10
rate = 0.02

for epoch in range(5):
    for iteration in range(10 ** epoch, 10 ** (epoch + 1)):
        # Compute the gradient of the objective function. Absent penalties, we
        # only care about how big the rectangle is, not where.
        dx, dy, dz = (0, 0, 1)
        # Loop through the polygon boundaries, applying penalties.
        for a, b, c in polygon:
            for u in [-w, w]:
                for v in [-h, h]:
                    term = -exp(alpha * (a * (x + u * z) + b * (y + v * z) - c))
                    dx += alpha * a * term
                    dy += alpha * b * term
                    dz += alpha * (a * u + b * v) * term
        x += rate * dx
        y += rate * dy
        z += rate * dz
    print(x, y, z)