haskell - Last 是一个自由幺半群吗？

Question

自由幺半群通常被视为“列表幺半群”。然而，我对其他可能的结构感兴趣，这些结构可能会给我们 免费的幺半群 .
首先，让我们回顾一下 的定义。免费的幺半群 .我一直不太明白如何定义 免费幺半群作为一个遵守幺半群定律的结构，仅此而已。我们如何证明某事不遵守上述规定的规则？或者这只是一种直觉？
不管怎样，我们要讲的是仿函数。如果某个幺半群是 免费 ，我们通过 得到它免费仿函数 .很明显，列表在这里非常方便:

free :: Set -> Mon
free a = ([a], (++), [])

然而，一个人可能会想出其他几个。例如，这里有一个 Last 的 Data.Monoid :

freeLast :: Set -> Mon
freeLast a = (Last a, (<>) :: Last a -> Last a -> Last a, Last Nothing) 

那么，这个仿函数是否使 Last一个 免费幺半群 ?更一般地说，如果有 Monoid (T a)的守法实例, 是 T一个 免费幺半群 ?

Answer 1

这是理解自由幺半群的一种方法:如果有人给你一个值，你能推断出它是如何创建的？考虑一个自然数的加法幺半群。我给你一个 7，然后问你我是怎么得到的。我可以添加 4+3，或 3+4，或 2+5，等等。有很多可能性。此信息已丢失。另一方面，如果我给你一个列表[4, 3] ，你知道它是由单例创建的 [4]和 [3] .除了可能有一个单位[]涉及。也许是 [4]<>[3]<>[]或 [4]<>[]<>[]<>[3] .但绝对不是 [3]<>[4] .
列表更长，[1, 2, 3] ，您还有其他选择([1]<>[2]) <> [3] , 或 [1] <> ([2]<>[3]) ，加上空列表的所有可能插入。因此，您丢失的信息遵循单位定律和关联性，但仅此而已。一个自由的幺半群值会记住它是如何创建的、模单位定律和结合性。