matlab - 使用 Matlab 中的标准绘图函数绘制符号方程

Question

为了获得流体行为的图形表示，通常的做法是绘制其流线。

对于给定的具有速度分量 u = Kx 和 v = -Ky 的二维流体(其中 K 是常数，例如:K = 5)，流线方程可以为积分流速场分量得到如下:

流线方程:∫dx/u = ∫dy/v

解出的方程如下所示:A = B + C(其中 A 是第一个积分的解，B 是第二个积分的解，C 是积分常数)。

一旦我们实现了这一点，我们就可以通过简单地为 C 分配一个值(例如:C = 1)并绘制结果方程来开始绘制流线。这将生成一个流线，因此为了获得更多流线，您需要迭代最后一步，每次分配不同的 C 值。

我通过让 matlab integrate 成功绘制了这个特定流程的流线图。符号化方程并使用 ezplot 生成图形，如下所示:

syms x y

K = 5; %Constant.

u = K*x; %Velocity component in x direction.
v = -K*y; %Velocity component in y direction.

A = int(1/u,x); %First integral.
B = int(1/v,y); %Second integral.

for C = -10:0.1:10; %Loop. C is assigned a different value in each iteration.
    eqn = A == B + C; %Solved streamline equation.
    ezplot(eqn,[-1,1]); %Plot streamline.
    hold on;
end

axis equal;
axis([-1 1 -1 1]);

这是结果:

问题在于，对于流的某些特定区域，ezplot 不够准确，并且不能很好地处理奇点(渐近线等)。这就是为什么标准的“数字”绘图似乎是可取的，以获得更好的视觉输出。

这里的挑战是将符号流线解转换为与标准 plot 函数兼容的显式表达式。

我尝试这样做，使用 subs 和 solve 完全没有成功(Matlab 抛出错误)。

syms x y

K = 5; %Constant.

u = K*x; %Velocity component in x direction.
v = -K*y; %Velocity component in y direction.

A = int(1/u,x); %First integral.
B = int(1/v,y); %Second integral.

X = -1:0.1:1; %Array of x values for plotting.

for C = -10:0.1:10; %Loop. C is assigned a different value in each iteration.
    eqn = A == B + C; %Solved streamline equation.
    Y = subs(solve(eqn,y),x,X); %Explicit streamline expression for Y.
    plot(X,Y); %Standard plot call.
    hold on;
end

这是命令窗口上显示的错误:

Error using mupadmex
Error in MuPAD command: Division by zero.
[_power]

Evaluating: symobj::trysubs

Error in sym/subs>mupadsubs (line 139)
G =
mupadmex('symobj::fullsubs',F.s,X2,Y2);

Error in sym/subs (line 124)
G = mupadsubs(F,X,Y);

Error in Flow_Streamlines (line 18)
Y = subs(solve(eqn,y),x,X); %Explicit
streamline expression for Y.

那么，应该如何完成呢？

Answer 1

由于您多次使用 subs，因此 matlabFunction 效率更高。您可以使用 C 作为参数，并根据 x 和 C 求解 y。那么 for 循环要快得多:

syms x y

K = 5; %Constant.

u = K*x; %Velocity component in x direction.
v = -K*y; %Velocity component in y direction.

A = int(1/u,x); %First integral.
B = int(1/v,y); %Second integral.

X = -1:0.1:1; %Array of x values for plotting.

syms C % C is treated as a parameter
eqn = A == B + C; %Solved streamline equation.

% Now solve the eqn for y, and make it into a function of `x` and `C`
Y=matlabFunction(solve(eqn,y),'vars',{'x','C'})

for C = -10:0.1:10; %Loop. C is assigned a different value in each iteration.
    plot(X,Y(X,C)); %Standard plot call, but using the function for `Y`
    hold on;
end